平面点地曼哈顿最小生成树.docVIP

平面点的曼哈顿最小生成树引言作者阅读并研究了由Hai Zhou (Electrical and Computer Engineering, Northwestern University, Evanston, IL 60208, USA)，Narendra Shenoy和William Nicholls (Advanced Technology Group, Synopsys, Inc., Mountain View, CA 94043, USA)撰写的论文《Efficient minimum spanning tree construction without Delaunay triangulation》，现将一些收获体会总结如下。?问题描述平面上有n个不重合的点，你的任务是求这些点的最小生成树。两个点(x0,y0)和(x1,y1)之间的距离定义为|x0-x1|+|y0-y1|。（即曼哈顿距离）如果在任意两个点之间都连一条边，边的权值等于两点的曼哈顿距离，那么这个题目就是标准的最小生成树问题。一个包含n个点n2条边的图，求最小生成树的代价是O(n2)。但是这种一般性的做法没有考虑到“平面”的性质。下面将通过分析最小生成树的性质和平面性质的结合，得到一个O(nlogn)的算法。?最小生成树的“环切”性质先抛开“平面”，我们考虑一般的离散图的最小生成树有什么性质。环切性质 在图G=(V,E)中，如果存在一个环，把环中权最大的边e删除得到图G’=(V,E\{e})（如果有多条最大边，则删除任意一条），则G和G’的最小生成树权和相同。证明：假设e(e∈E)在G的一个环C上，并且是环上的权最大边。假设G的某棵最小生成树T包含了e，考虑e连接的两个点u和v。把e从T中删除，就把T分成两个连通分量，u,v分处不同的连通分量。在环C上对应的把e删除，从u到v还是有一条通路，并且通路上的所有边权值都不大于e的权值；假设这条通路是(u, x1, x2, …, xL, v)。在点集S={u, x1, x2, …, xL, v}中，和u属于同一个集合的点称之为红点，和v属于同一个集合的称之为蓝点。显然S中至少有一个红点(u)、至少有一个蓝点(v)。所以在序列(u, x1, x2, …, xL, v)中必然存在相邻的两个点颜色不同，不妨设为a和b。将a,b加入到被删除了e的T中，就得到了一棵新的生成树T’：即T’=(T\{e})∪{a,b}。前面提到了通路(u, x1, x2, …, xL, v)中任意一条边都不大于e，所以a,b的权不大于e的权。即T’也是G的一棵最小生成树。因为G’是G的子图，所以T’也是G’的最小生成树。而T和T’的权和相等（都是G的最小生成树）。证毕。?区域分类法通过最小生成树的“环切”性质，我们可以发现有很多边是没有用的。如果图中存在一个环，那么就至少能删掉一条边而保持最小生成树不变。我们回到“平面”问题。基本思路还是构建一个离散图——但是这个图的边数必须远远小于n2。换句话说我们要想办法利用“环切”性质，只保留一些有用的边。考察某个点s。我们从s发出8条射线将平面均分成八个部分：如果点落在射线上，按如下方法划分：实线上的点属于这个区域、虚线上的点不属于。上图中p, q都属于该区域。下面我们证明：在每个区域里面，s只要和至多一个点连边即可。八个扇形区域是对称的，我们只考虑R1。把s看作原点，R1里面的点(x,y)都满足：x≥0,yx.考察R1里面两个点p和q，不失一般性设xp≤xq。1.?????? yp≤yq|PQ|=xq+yq-(xp+xq)|SP|=xp+yp|SQ|=xq+yq所以|PQ|=|SQ|-|SP|≤|SQ|可见当yp≤yq时，|PQ|不是三角形SPQ的最长边。（在曼哈顿距离下的“最长”）2.?????? ypyq0≤xp≤xq≤yqyp|PQ|=xq-xp+yp-yq|SP|=xp+yp|SQ|=xq+yq 即|PQ|= (yp-xp)+(xq-yq)因为xq≤yq，所以|PQ|≤yp-xp≤yp≤xp+yp=|SP|也就是说，当ypyq时，|PQ|仍然不是三角形SPQ的最长边。（曼哈顿距离意义下的“最长”）综上，|PQ|无论如何也不可能是三角形SPQ的最长边。即：在环s, p, q中，最大边只可能是|SP|和|SQ|。根据“环切”性质，我们把|SP|和|SQ|中的较长边删除即可。假设R1里面有m个顶点：P1, P2, …, Pm，假设距离s最近的点是Pk，那么只要在S和Pk之间连边即可。所谓距离s最近的点，实际上就是xk+yk最小的点。?图的构建方法按照上一节介绍的方法，我们可以构建出一个至多含有8n条边的图。可是如何构造呢？如果对于每个点s，把所有的点都判断一次取最小值，那么复杂度是O(n2)，没