第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步section2m2q7vu.doc

§2 场论初步场论的基本?概念及梯度?、散度与旋度?[标量场] 空间区域D?的每点M(x,y,z)对应一个数?量值(x,y,z)，它在此空间?区域D上就?构成一个标?量场，用点M(x,y,z)的标函数(x，y，z)表示.若M的位置?用矢径r确?定，则标量可以?看作变矢r?的函数＝(r).例如温度场?u(x,y,z),密度场,电位场e(x,y,z)都是标量场?. [矢量场] 空间区域D?的每点M(x，y，z)对应一个矢?量值r(x，y，z)，它在此空间?区域D上就?构成一个矢?量场，用点M(x，y，z)的矢量函数?r(x，y，z)表示.若M的位置?用矢径r确?定，则矢量r可?以看作变矢?r的矢函数?r(r)：r(r)＝X(x，y，z)i＋Y(x，y，z)j＋Z(x，y，z)k 例如流速场? (x，y，z)，电场E(x，y，z)，磁场H(x，y，z)都是矢量场?.与标量场的?情况一样，矢量场概念?与矢函数概?念，实质上是一?样的.沿用这些术?语(标量场、矢量场)是为了保留?它们的自身?起源与物理?意义.[梯度]grad＝(，，)==i＋j＋k式中=i＋j＋k称为哈密?顿算子,也称为耐普?拉算子.grad有?的书刊中记?作del. grad的?方向与过点?(x，y，z)的等量面＝C的法线方?向N重合，并指向增加?的一方，是函数变化?率最大的方?向，它的长度等?于.梯度具有性?质：grad(＋)＝ grad＋grad (、为常数) grad()＝ grad＋ grad gradF?()＝[方向导数]＝l·grad＝cos＋cos＋cos式中l＝(cos,cos,cos)为方向l的?单位矢量,,,为其方向角?.方向导数为?在方向l上?的变化律，它等于梯度?在方向l上?的投影.[散度]divr＝＋＋=·r=div(X , Y , Z)式中为哈密?顿算子. 散度具有性?质： div(a＋b)＝ diva＋divb (、为常数) div(a)＝div a＋a grad div(a×b)＝b·rot a－a·rotb[旋度] rotr＝()i＋()j＋()k=×r=式中为哈密?顿算子，旋度也称涡?度，rot r有的书刊?中记作cu?rl r.旋度具有性?质：rot(a＋b)＝ rot a＋rot b (、为常数)rot(a)＝rot a＋a×gradrot(a×b)＝(b·)a－(a·)b＋(div b)a－(div a)b[梯度、散度、旋度混合运?算] 运算gra?d作用到一?个标量场产?生矢量场g?rad，运算div?作用到一个?矢量场 r产生标量?场div r，运算rot?作用到一个?矢量场r产?生新的矢量?场rot r.这三种运算?的混合运算?公式如下：div rot r＝０rot grad＝０div grad＝ ＋＋=grad div r＝(r)rot rot r＝×(×r)div grad(+)= div grad+div grad (、为常数)div grad()=div grad＋div grad ＋２grad?·gradgrad div r－rot rot r＝r式中 为哈密顿算?子，＝·＝２为拉普拉?斯算子. [势量场(守恒场)] 若矢量场r?(x，y，z)是某一标函?数(x，y，z)的梯度，即r＝grad 或 X＝，Y＝，Z＝则r称为势?量场，标函数称为?r的势函数?.矢量场r为?势量场的充?分必要条件?是：rot r＝０，或 =,=,=势函数计算?公式(x，y，z)＝(x0，y0，z0)＋＋＋[无散场(管形场)] 若矢量场r?的散度为零?，即div r＝0，则r称为无?散场.这时必存在?一个无散场?T，使r＝rot T，对任意点M?有T＝ 式中r为d?V到M的距?离，积分是对整?个空间进行?的. [无旋场] 若矢量场r?的旋度为零?，即rot r＝0，则r称为无?旋场.势量场总是?一个无旋场?，这时必存在?一个标函数?，使r＝grad，而对任意点?M有＝－ 式中r为d?V到M的距?离，积分是对整?个空间进行?的.梯度、散度、旋度在不同?坐标系中的?表达式 1．单位矢量的?变换 [一般公式] 假定x=f(),y=g(),z=h()把()空间的一个?区域 一对一地连?续映射为(x，y，z)空间的一个?区域D，并假定f，g，h都有连续?偏导数，因为对应是?一对一的，所以有＝(x，y，z)，再假定也有?连续偏导数?，则有或逆变换沿dx，dy，dz方向的?单位矢量记?作i，j，k，沿方向的单?位矢量记作?，则有 [圆柱面坐标?系的单位矢?量] 对于圆