第一章概率论习题解答1.docVIP

教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用、、分别表示事件“第1、2、3枪击中目标”，试用、、表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 ++. （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 或 ++++++ . Exercise 1.2 设事件的概率分别为 .在下列三种情况下分别求的值： （１）与互斥； （２） （３）． Solution 由性质（5），=. 因为与互斥，所以，==P(B)= 因为所以=== == Exercise 1.3 一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑色球，三个白色球。现从袋中随机地取出两个球，求取出的两球都是黑色球的概率。 Solution 从8个球中取出两个，不同的取法有种。若以表示事件{取出的两球是黑球}，那么使事件发生的取法为种，从而 /=5/14 Exercise 1.4 在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率。 Solution 从100个产品中任意抽取5个产品，共有种抽取方法，事件={有1个次品，4个正品}的取法共有种取法，故得事件的概率为 Exercise 1.5 将个球随机地放入个盒子中，求： （１）每个盒子最多有一个球的概率； （２）某指定的盒子中恰有（）个球的概率。 Solution 这显然也是等可能问题。 先求个球随机地放入个盒子的方法总数。因为每个球都可以落入个盒子中的任何一个，有种不同的放法，所以个球放入个盒子共有种不同的放法。 （1）事件={每个盒子最多有一个球}的放法。第一个球可以放进个盒子之一，有种放法；第二个球只能放进余下的个盒子之一，有种放法；．．．第N个球只能放进余下的个盒子之一，有种放法；所以共有种不同的放法。故得事件的概率为 （2）事件={某指定的盒子中恰有个球}的放法。先从个球中任选个分配到指定的某个盒子中，共有种选法；再将剩下的个球任意分配到剩下的个盒子中，共有种放法。所以，得事件的概率为 Exercise 1.6 在１~９的整数中可重复的随机取６个数组成６位数，求下列事件的概率： （１）６个数完全不同； （２）６个数不含奇数； （３）６个数中５恰好出现4次。 Solution 从9个数中允许重复的取6个数进行排列，共有种排列方法。 （1）事件A={６个数完全不同}的取法有种取法，故 （2）事件B={６个数不含奇数}的取法。因为6个数只能在2，4，6，8四个数中选，每次有4种取法，所以有取法。故 （3）事件C={６个数中５恰好出现4次}的取法。因为6个数中５恰好出现4次可以是6次中的任意4次，出现的方式有种，剩下的两种只能在1，2，3，4，6，7，8，9中任取，共有种取法。故 Exercise 1.7 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上（０，４）上的所有实数，旋转陀螺，求陀螺停下来后，圆周与桌面的接触点位于［0.5，１］上的概率。 Solution 由于陀螺及刻度的均匀性，它停下来时其圆周上的各点与桌面接触的可能性相等，且接触点可能有无穷多个，故 . Exercise 1.8 甲乙两人相约点在预定地点会面。先到的人等候另一人分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率。 Solution 以，分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末 ， ；若以表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以用这平面上的边长为4的一个正方形： ， 内所有点表示出来。二人能会面的充要条件是 （图中阴影部分）；所以所求的概率为： . Exercise1.9 设某种动物有出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%.如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活25岁以上的概率？ Solution 设事件={能活20岁以上}；事件={能活25岁以上}。按题意，，由于，因此.由条件概率定义 Exercise1.10 在一批由90件正品，３件次品组成的产品中, 不放回接连抽取两件产品，问第一件取正品，第二件取次品的概率。 Solution