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无约束最优化问题的最优性条件 等式约束最优化问题的最优性条件 不等式约束最优化问题的最优性条件 一般约束最优化问题的最优性条件 若n=1,则f(x)为一元函数. 一阶必要条件 一阶必要条件 * * 第三章 最优性条件　 Optimality Conditions 所谓最优性条件，是指最优化问题的最优解所要满足的 必要条件或充分条件，这些条件对于最优化算法的建立 和最优化理论的推整都是至关重要的. 第三章 最优性条件　 无约束最优化问题的最优性条件　 (1) 若 为 的局部极小点， 则 (3) 若 则 为 的严格局部极小点； 若 (2) 为 的局部极小点， 则： 无约束最优化问题的最优性条件　 回顾：一元函数的最优性条件 必要条件 充分条件 定理3.1.1 若 为 的局部极小点， 且在 内 一阶连续可微， 则 注: (1) 仅仅是必要条件，而非充分条件． (2) 满足 的点称为驻点． 驻点分为：极小点，极大点，鞍点． 无约束最优化问题的最优性条件　 Stationary Point Saddle Point 平稳点 无约束最优化问题的最优性条件　 ：函数曲面在x*处的切平面是水平的. 所谓x*是鞍点,从直观上说曲面在x*处沿某方向“向上弯曲”，而沿另一方向“向下弯曲”. 定理3.1.2 若 为 的局部极小点， 且在 内 二阶连续可微， 则 半正定． 无约束最优化问题的最优性条件　 二阶必要条件 注: (1) 刻画了f(x)在x处切平面的法向. (2) 刻画了曲面f(x) 的弯曲方向. 无约束最优化问题的最优性条件　 二阶必要条件 (3) 定理3.1.2仅仅是必要条件而非充分条件. 例 在x0=(0,0)T处，有 定理3.1.3 若在 内 二阶连续可微， 且 正定, 则 为严格局部 极小点． 注: (1)如果 负定, 则 为严格局部极大点． 二阶充分条件 无约束最优化问题的最优性条件　 (2) 定理3.1.3仅仅是充分条件而非必要条件. 分析: x0=(0,0)T为其严格局部极小点. 但有 例 定理3.1.4 设 在 上是凸函数且在x*处一阶 连续可微， 则 为 的全局极小点的充要条件 是 无约束最优化问题的最优性条件　 凸优化问题-----一阶充要条件 定理3.1.5 设 在 上是严格凸函数，在x*处 则 为 的惟一全局极小点. 一阶连续可微， 例1： 利用极值条件解下列问题： 解： 令 即： 得到驻点： 无约束最优化问题的最优性条件