方程组地误差估计.pptVIP

若 第四章方程组的直接解法 4.3.2 方程组的误差估计 4.3.1 矩阵的条件数 4.3 方程组的性态和误差估计 解Ly=b得y=(6,1,-1) T, 解LTx=D-1y得x=(2,1,-1)T 4.3.1 矩阵的条件数 定义4.1 如果方程组Ax= b中，矩阵A和b右端的微小变化，引起解向量x的很大变化，则称A为关于解发才组和矩阵求逆的病态矩阵，称相应的方程组为病态方程组。否则， 称A为良态矩阵，称相应的方程组为良态方程组。 的准确解是（1，1）T。若A及b作微小的变化，考扰动后的方程组 其准确解为（-2，10）T 先看一个例子，说明方程组的解对或的扰动的敏感性问题。 例4.9 方程组  在上例中， A和b的微小变化引起x很大的变化， x对A和b的扰动是敏感的。这种现象的出现完全是有方程组的性态决定的。 方程组右端所引起的解向量的相对误差就可能越大。 可见，量 是相对误差 的倍增因子，该量越大， 又由于 　　　　　　　　， x= A-1 b， 即得 　　我们需要一种能刻画矩阵和方程组病态程度的标准。暂且不考虑矩阵A的扰动，仅须考虑b 的扰动对方程组的影响，设方程组Ax= b的扰的方程组为A（x+ x）= b + b ，则 为矩阵A的条件数。 　　如果矩阵范数取2范数，则记 　　定义4.2 设A∈Rn×n为可逆矩阵，按算子范数，称 cond（A）= 同样可以定义cond∞（A）和cond1（A）。 。按（ 4.3.1）， （1）其中cond（A）≧1， cond（A）= cond（A-1）， cond（ 　A）= cond（A），其中 ∈R， ≠0 （2）若U为正交矩阵，即UT U=I则 cond2（U）=1， cond2（A）= cond2（AU）= cond2（UA）。 （3）设 与 为A按绝对值最的和最小的特征值，则 若A对称，则cond2（A） = cond（A） ≧ 设A-1存在，条件数有如下一些性质： 例4.10 下列Hilbert矩阵是一族著名的病态矩阵： 它是一个n×n的对称矩阵，可以证明是正定的。计算条件数有cond2（H4）= 1.5514 × 104 ， cond2（ H6）=1.4951 × 107，cond2（ H8）= 1.525 × 1010。由此可见，随着n的增加， Hn的病态可能越严重。 Hn常常在数据拟合和函数逼近中出现 。 　　对于实际问题，条件数一般是很难计算的。下列现象可能表示方程组Ax=b是病态的。 　　（1）如果矩阵A的按绝对值最大特征值和最小特征值之比很大，则A是病态的。 （2）如果系数矩阵A的元素间数量级很大，并且无一定规则，则A可能病态。 　　（3）如果系数矩阵A的莫些行或列是近似相关的，或系数矩阵的行列式值相对说很小，则A可能病态。 （4）如果在A的三角化过程中出现小指元或采用选用选主远技术，主元素数量级相差悬除时，则A可能病态。 　　对于病态方程组，数值求解必须小心进行，否则达不到所要求的准确度。有时可以用高精度（如双精度或扩充精度）的运算，以改善或减轻方程组的病态程度，有时也可以对圆方程组作预处理，以降低 系数矩阵的条件数，即选择非奇异矩阵P和Q，一般选着为对角阵或三角矩阵，使 　　　　cond（ PAQ ） cond(A) 然后，求解等价方程组PAQ y=P y ， y =Q-1x。 例如，对矩阵 有cond∞ ≈105。若进行预处理 则cond∞ （B）=4，条件数的改善。 4.3.2 方程组的误差估计 定理4.9 设Ax=b，A为非奇异矩阵， b为非零向量， A和b分别有扰动， A和 b, 。若 1,则有误差估计式 　　由于舍入误差，我们解方程组往往得到的是近似解。下面利用条件数给出近似解的事前误差估计，即计算之前和计算之后的误差估计。 将上式两端取范数，则有 证. 将代入扰动方程组 ，整理后有