三角函数最值问题初探.docVIP

PAGE 三角函数最值问题初探 ——章海涛摘 要：三角函数最值问题是对三角函数基础知识的综合应用,是中学数学的一个重要内容,也是高考中的一个重点.本文归纳总结了三角函数最值问题的几种类型及求解方法,以期对高中数学中知识点的理解及在教学中起到很好的借鉴作用.关键词：三角函数,最值,解法Abstract: Maximum or minimum problem of trigonometric function is a comprehensive application of fundamental knowledge of trigonometric function, an important content of middle school mathematics, and a key point in the entrance examination for college. This paper concludes and summarizes several categories and solution methods of maximum or minimum problem of trigonometric function, which are expected to play reference roles in comprehending knowledge points of senior high school mathematics and in mathematical teaching.Keywords: trigonometric function, maximum or minimum, solution methods目 录1 引言……42 三角函数最值问题的几种类型42.1 型42.2 二次函数型42.3 分式函数型42.4 基本不等式型53 求三角函数最值常用的几种方法53.1 利用拆项观察53.2 利用三角函数的有界性53.3 利用三角函数的单调性63.4 利用三角函数的周期性63.5 利用辅助角(即,其中)73.6 利用二次函数单调性73.7 利用隐含条件的功能83.8 利用基本不等式83.9 利用导数93.10 利用判别式93.11 利用数形结合思想10结论12参考文献131 引言三角函数最值问题是函数最值的一个重要组成部分,也是高考热点之一.其出现的形式,或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题,或者是隐含在解答题中作为解决解答题所用的知识之一.它既是三角函数知识的延续和再巩固,又是三角公式运用的具体表现.这类问题不仅与三角知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及一些解析几何知识结合密切.由于其题型变化多样、解法多样,有些解法又有较强的技巧.因此,对于学生而言要熟练掌握这些知识和方法的确有一定的难度.本文试对几种不同形式进行总结,谈谈如何求三角函数的最值.2 三角函数最值问题的几种类型三角函数的最值问题一般有四种类型,分别是型、二次函数型、分式函数型、基本不等式型.当然,有的三角函数最值问题可能形式上不是这四种类型中的一种,但是均可以转化成其中的一种.2.1 型这类函数只含有正余弦函数,并且是一次式.一般地,形如型和型的最值问题均可转化为型加以解决.解决此类问题的指导思想是把正余弦函数转化为只含一种角的三角函数,再利用三角函数的有界性来解决.2.2 二次函数型所谓二次函数型就是将三角函数最值问题转化为二次函数（）在某一区间上的最值问题.典型的是形如和型的函数最值问题.有的函数不是这两种形式中的任一种也可以转化成二次函数型.在解题过程中,有时会用到换元法来简化问题,但需要注意的是换元后新元的取值范围.2.3 分式函数型形如型函数,、是三角函数.这类问题的解决方法需根据三角函数的结构式的特点而定.一般地,从代数、几何两方面入手.代数方法主要是从不等式知识及函数性质方面考虑;几何方法主要是运用数形结合思想,根据三角函数结构式的特点建立几何模型,利用几何意义(斜率、截距等)进行考虑.2.4 基本不等式型将所求函数转化为利用基本不等式来求解的结构式.主要是运用均值定理来求解最值,需要注意的是取“=”的条件能否满足.因此,转化时可能会需要进行合理的拆、添项、凑常数等操作,有时还会用到和等恒等关系式,一般视情况而定.3 求三角函数最值常用的几种方法三角函数最值问题不仅与三角知识密切联系,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及一些解析几何知识紧密相关.其题型变化多样、解法多样,某些解法有较强的技巧,下面介绍几种常用的求解方法.3.1 利用拆项观察例1 求函数的最值.解