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2014中考——旋转问题专项训练
一.解答题(共14小题)
1.在图1至图3中,直线MN与线段AB相交于点O,∠1=∠2=45°.
(1)如图1,若AO=OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系;
(2)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2,其中AO=OB.求证:AC=BD,AC⊥BD;
(3)将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3,求的值.
2.如图1至图4中,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.
思考
如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.
当α= _________ 度时,点P到CD的距离最小,最小值为 _________ .
探究一
在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,得到最大旋转角∠BMO= _________ 度,此时点N到CD的距离是 _________ .
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转.
(1)如图3,当α=60°时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值;
(2)如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定α的取值范围.
(参考数椐:sin49°=,cos41°=,tan37°=.)
3.如图,点E是线段BC的中点,分别以BC为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形,且在BC同侧.
(1)AE和ED的数量关系为 _________ ;AE和ED的位置关系为 _________ ;
(2)在图1中,以点E为位似中心,作△EGF与△EAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD.分别得到图2和图3.
①在图2中,点F在BE上,△EGF与△EAB的相似比1:2,H是EC的中点.求证:GH=HD,GH⊥HD.
②在图3中,点F在的BE延长线上,△EGF与△EAB的相似比是k:1,若BC=2,请直接写CH的长为多少时,恰好使GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示).
4.(2014?邯郸一模)已知矩形ABCD中,点M是CD上一点,连接AM,作ME⊥AM交射线CB于点E.
①如图1,当CM=BC时,求证AM=ME;
②如图2,若MC:BC=4:3,求sin∠AEM;
③如图3,若AB=5,AD=2,点N是AE的中点,当CM= _________ 时,线段MN有最小值.
5.问题解决:
如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)如图2,固定△ABC,将△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,那么S1与S2的数量关系是 _________ ;
(2)当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)如图4,∠ABC=60°,点D在其角平分线上,BD=CD=6,DE∥AB交BC于点E,若点F在射线BA上,并且S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
6.已知,Rt△ABC和Rt△BDE,AC=BC,BD=DE,F是AE的中点,连结CF、DF.
(1)当点E在AB上时,如图①,线段CF和DF有怎样的关系?并证明你的结论.
(2)将图①中△BDE绕点B逆时针旋转90°,如图②,那么(1)中的结论是否成立?如果成立,请写出证明;如果不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BDE绕点B逆时针旋转180°,如图③,那么线段CF和DF又有怎样的关系?请直接写出你的猜想.
7.在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A′B′C.
(1)如图1,当A′B′∥AC时,设A′C与AB相交于点D.证明:△BCD是等边三角形;
(2)如图2,连接A′A、B′B,设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求:S△ACA′与S△BCB′的比;
(3)如图3,设AC中点为E,A′B′中点为P,BC=a,连接EP,求:角θ为多少度时,EP长度最大,并求出EP的最大值.
8.(2012?保定二模)如图1,已知:Rt△ABC和Rt△DBE,∠ABC=∠DBE=90°,AB=CB,DB=EB.
(1)如图1,点D在△ABC外,点E在AB边上时,求证:AD=CE,AD⊥CE;
(2)若将(1)中的△DBE绕点B顺时针旋转,使点E在△ABC的内部,如图2,则(1)中的结论是否仍然
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