第二节 线性空间的定义及简单性质.ppt

§6.2 线性空间的定义与简单性质 高 等 代 数 第二节 线性空间的定义与简单性质 * * 第六章 线性空间 Linear Space 一、线性空间的概念 定义 1 设 V 是一个非空集合 , P 是一个数域 . 在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做 加法； 这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任 意两个元素 ? 与 ? ，在 V 中都有唯一的一个元素 ? 与它们对应，称为 ? 与 ? 的和，记为 ? = ? + ? . 在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算 , 叫做数量乘法； 这就是说，对于数域 P 中任一 数 k 与 V 中任一元素 ? ，在 V 中都有唯一的一个 元素 ? 与它们对应，称为 k 与 ? 的数量乘积，记 ? = k? . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那 么 V 称为数域 P 上的线性空间. 加法满足下面四条规则： 1) ? ? ? ? ? ? ? ； 2) (? ? ? ) ? ? ? ? ? (? ? ? )； 3) 在 V 中有一个元素 0，对于 V 中任一元素 ? 都有 ? + 0 = ? (具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素) ； 4) 对于 V 中每一个元素 ? ，都有 V 中的元素 ? ，使得 ? + ? = 0 (? 称为? 的负元素) . 数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 ? = ? ； 6) k( l? ) = ( kl )? . 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) ( k + l )? = k? + l? ; 8) k(? + ? ) = k? + k? . 在以上规则中，k , l 表示数域 P 中的任意数 ; ? , ? , ? 等表示集合 V 中任意元素. 线性空间的元素也称为向量. 当然，这里所谓 向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多. 线性空 间有时也称为向量空间. 一般用小写的希腊字母 ? , ? , ? , … 表示线性空间 V 中的元素，用小写的 拉丁字母 a, b, c, … 表示数域 P 中的数. 注 ◆ 向量空间的定义可简单记为 “1128 ” ，即一个数域 P，这是基础域； 一个集合Ｖ； 两个运算，又叫做线性运算；八条规则，其中前四条是加法的运算律，这时称Ｖ对加法做成一个加群，第五、六条是数量乘法算律， 最后两条是分配律，表示两种运算之间的联系. 例 1 在解析几何中， 平面或空间中一切向量组成的集合 V, 对于向量的加法及实数与向量的乘法, 构成实数域上的一个线性空间. 例 3 全体定义在区间 [a,b]上的连续函数组成的集合V, 对于函数的加法及实数与连续函数的乘法, 构成实数域上的一个线性空间. 用 C [a,b] 表示. 例 2 全体 n 维实向量组成的集合 V, 对于向量的加法及实数与向量的乘法, 构成实数域上的一个线性空间. 例 4 数域 P 上一元多项式环 P[ x ]， 按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成数域 P 上的一个线性空间. 如果只考虑其中次数小于 n 的多项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性空间，用 P[ x ]n 表示. 但是，数域 P 上的 n 次多项式集合对同样的运算不构成线性空间，因为两个 n 次多项式的和可能不是 n 次多项式. 例 5 全体数域 P 上的 m ? n 矩阵组成的集合 V，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数 域 P 上的一个线性空间，用 P m ? n 表示. 例 6 全体实函数，按函数的加法和数与函数 的数量乘法，构成实数域上的一个线性空间. 例 7 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成 自身上的一个线性空间. 例 8 全体数域 P 上的 2 维向量组成的集合V , 定义数与向量的数量乘法如下: k ⊙ (a, b) = ( ka，0) , 对于通常的向量加法及以上定义的数与向量的数量乘法不构成数域 P 上的线性空间. 事实上 , 当 b≠0 时 1 ⊙ (a, b) = ( 1a，0) = ( a，0) ≠ (a, b) . 注 ◆ 例 8 中集合 V 满足线性空间定义中的其他七条公理, 可见第五条虽然比较简单, 但是不可由其他七条推出. ◆