2数集 确界原理.ppt

第二节 数集 确界原理 定义2 设S是实数集R中的一个数集，若存在数L，使得对一切的x∈S, 都有 x L,则称S为有下界的数集，称L为S的一个下界。 若S有上（下）界，则一定有无限多个上（下）界。 有限区间都是有界集，无限区间都是无界集。由有限个数组成的数集是有界集。 定义3 设S是实数集R中的一个数集，若数 满足： （1） 有 ，即 是S的一个下界， （2） 使 ，即 是S的最大下界， 则称 是S的下确界,记作infS. 注4 数集S的确界可能属于S,也可能不属于S,何时属于S,见例3。 定理（确界原理） 设S是实数集R中的非空数集，若S 有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。 确界原理说明了实数集是完备的（连续的），这一性质是实数集和有理数集的本质区别。 确界的运算性质： A,B为非空数集，若x∈A,y ∈B.有x y.则 supA infB. A,B为非空数集，S=A∪B, 则 supS=max{supA,supB}, infS=min{infA,infB}. ={x|-x ∈S}.则 sup =-infS, inf =-supS. A,B为非空数集，A+B={z|z=x+y,x∈A,y ∈B},则 sup(A+B)=supA+supB, inf(A+B)=infA+infB. 证3： * 一、区间与邻域 (a,b), [a,b], (a,b], [a,b) 邻域: 右邻域： 左邻域： 二、有界集、确界原理 定义1 设S是实数集R中的一个数集，若存在数M，使得对一切的x∈S, 都有 则称S为有上界的数集，称M为S的一个上界。 若S为既有上界、又有下界的数集，则称S为有界集。 若S没有上界或没有下界，则称S为无界集。 若对于任意的数M，都存在一个 ∈S,使得 M, 则称S是一个无上界的数集。 有下界（可取1），无上界。 下界可取1/2，上界可取1。 下界可取-1，上界可取1。 } , ! | { 1 + ? = = N n n x x S 如： （1） 有 ，即 是S的一个上界， （2） 使 ，即 是S的最小上界， 定义3 设S是实数集R中的一个数集，若数 满足： 则称 是S的上确界，记作supS. 注 1 （2）也可写成： 使 注2 确界若存在，则必是唯一的，且 infS supS (仅当S是单点集时，等 号成立）。 注3 确界不是最大、最小值。 （下确界） 或 上确界 e h e h + - 0 0 ) ( x x 例1： 证： 若 a1, 例2： 证： 分两种情况讨论。 例3： 证： 仅证下确界的情况。 必要性： 充分性： 证：仅证上确界的结论。 不妨设S有非负数。由于S有上界，故可找到非负整数n,使得： （1）对于任何x∈S,有xn+1； 对[n,n+1)作10等分，分点为n.1,n.2,…,n.9, 则存在0，1，2, … , 9中的一个数 ，使 则存在0，1，2, … , 9中的一个数 ，使 继续下去，则对任意的k=1,2,3,…,存在0,1,2,3,…,9中的一个数 ，使 现在证明 = supS. 为此要证： 从而 矛盾！ 于是（Ⅰ）得证。 使 位不足近似 的 则可以找到 , k x k x 从而 于是（Ⅱ）得证。 例4： 求A={x|x0, 2, x 是有理数}的上下确界，并证明上确界不属于有理数集. 证： 先证 infA=0. （2）若a0, 分两种情况考虑。 故infA=0. 0 a 再证 supA= . （2）若b , 分两种情况考虑。 显然上确界不是有理数。 b *