概率统计第五篇课件.ppt

第一节 大数定律 三、典型例题 四、小结 第二节 中心极限定理 一、问题的引入 三、小结 第五章 大数定律及中心极限定理习 题 课 一、重点与难点 二、主要内容 契比雪夫定理的特殊情况 定理一的另一种表示 伯努利大数定理 辛钦定理 独立同分布的中心极限定理 李雅普诺夫定理 德莫佛－拉普拉斯定理 三、典型例题 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率. 解 设 X 为一年中投保老人的死亡数, 由德莫佛－拉普拉斯定理知, 例3 保险公司亏本的概率 证 例4 根据独立同分布的中心极限定理， 例5 随机变量X 表示对概率为p的事件A做n次重复独立试验时，A出现的次数。试分别用契贝雪夫不等式及中心极限定理估计满足下式的n： 解：记 由于X ~B(n，p)，故EX=np，EY=p， (1)根据契贝雪夫不等式，有 (2)以Xi 表示每次试验时A出现的次数，则Xi 服从参数为p的0-1分布，且EXi =p，DXi =p(1-p) ，而 是n个独立同分布的随机变量之和，故由中心极限定理知 因此有 例6 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。医院检验员任意抽查100个服用此药品的人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。 (1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？ (2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？ 解：(1)以X表示100人中治愈人数，则X ~B(100，0.8) 所求概率为 (2)依题X ~B(100，0.7) 所求概率为 三个中心极限定理 独立同分布的中心极限定理 李雅普诺夫定理 德莫佛－拉普拉斯定理 中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态分布. 二、主要内容 三、典型例题 一、重点与难点 1.重点 中心极限定理及其运用. 2.难点 证明随机变量服从大数定律. 大数定律 中心极限定理 定 理 2 定理3 定理4 定理2′的另一种表示 定理5 定理6 定理7 则随机变量之和的标准化变量 解 例1 根据独立同分布的中心极限定理知 的极限分布是标准正态分布. 解 例2 根据题意, 所求概率为 由中心极限定理有: 解 例3 第五章 大数定律与中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结 第一章引入概率概念时，曾经指出，事件发 生的频率在一、二次或少数次试验中具有随机性 的，但随着试验次数n的增大，频率将会逐渐稳 定且趋近于概率。特别，当n很大时，频率与概 率会非常“接近”的。这个非常“接近”是什么意思？ 这与高等数学中的极限概念有否联系？本章将从 理论上讨论这一问题。 一、问题的引入 定理1 设随机变量的数学期望EX=? ，方差DX=? 2，则对任意的正数?，不等式 (1) 成立。这个不等式称为契贝雪夫(Cheby shev)不等式。 证 我们仅就连续型随机变量情形加以证明。 设X的概率密度为 f(x)，于是 式(1)表明当DX很小时，概率P{|X-EX|≥?} 更小。 这就是说在上述条件下，随机变量X落入EX的?邻域 之外的可能性很小，也即落入EX的?邻域内可能性 很大。由此说明X的取值比较集中，也即离散程度较 小，这正是方差的意义所在。 契贝雪夫不等式在理论研究和实际应用中都有很重要的价值。 (1) 例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升血液中白细胞的平均数是7300，均方差是700。试估计每毫升血液中白细胞数在5200～9400之间的概率。 解 设每一毫升血液中白细胞数为X ，则由上式有 契贝雪夫不等式也可以写成如下等价形式 定理2 （伯努利(Bernoulli)大数定律）设 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意正数 0，有 或 证 令 则X1，X2，…，Xn是n个相互独立的随机变量，且 易知 于是， 由契贝雪夫不等式得 又由X1，X2，…，Xn的独立性可知 从而有 上述伯努利大数定律从理论上给出了频率“接近”概率这种“现象”的更加确切的含意，它反映了大数次重复试验下随机现象所呈现的统计规律性。 设Y