天津科技大学高等代数课件§5.7实对称矩阵的对角化.ppt

高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组 §5.7实对称矩阵的对角化 第五章 矩阵的相抵与相似 实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。 即存在可逆矩阵 , 使得 更可找到正交矩阵 ，使得 定理1：实对称矩阵的特征值为实数. 证：设 是 的任一特征值，（往证 ） 是对应于 的特征向量， 则 设 用 表示 的共轭复数， 表示 的共轭复向量。 则 又 是实对称矩阵， 且 由(1)(2)有 等号两边同时左乘 左边 右边 即 考虑 即 为实数。 定理1的意义： 因为对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次线性方程组 又因为 ，可知该齐次线性方程组一定有实的 基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。 是实系数方程组。 定理2：实对称矩阵 的对应于不同特征值的特征向量正交。 是依次与之对应的特征向量。 证：设 是对称矩阵 的两个特征值，且 则 于是 为实对称矩阵， 考虑 即 正交。 定理3： 为 阶实对称矩阵， 是 的 重特征值， 即 的基础解系所含向量个数为 则对应于 的特征向量中，线性无关的向量的个数为 （则 ） 知道结论即可 定理4：(实对称矩阵必可对角化) 对于任一 阶实对称矩阵 ， 一定存在 阶正交矩阵 使得 其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角阵。 证：设实对称阵 的互不相等的特征值为 它们的重数依次为 则 由定理，特征值 （重数为 ）对应的线性无关的 特征向量为 个。 把它们正交化，再单位化，即得 个单位正交的特征向量。 所以，可得这样的单位正交向量 个。 又 是实对称阵， 上面得到的 个单位特征向量两两正交。 以它们为列向量构成正交矩阵 ，有 不同特征值对应的特征向量正交， 其中 的对角元素含有 个 个 个 恰是 的 个特征值。 求正交矩阵 ，把实对称矩阵 化为对角阵的方法： 1. 解特征方程 求出对称阵 的全部不同的特征值。 即求齐次线性方程组 的基础解系。 3. 将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化。 2. 对每个特征值 ，求出对应的特征向量， 这样共可得到 个两两正交的单位特征向量 4. 以 为列向量构成正交矩阵 有 即 必须注意：对角阵中 的顺序 要与特征向量 的排列顺序一致。 例1 设 求正交矩阵 ， 使得 为对角阵。 解： 当 时，齐次线性方程组为 得基础解系 令 令 先正交化： 再单位化：令 当 时，齐次线性方程组为 令 得基础解系 单位化得 得正交矩阵 有 例2 设 求正交矩阵 ， 使得 为对角阵。 解： 当 时，由 即 得基础解系 只需把 单位化，得 （考虑为什么？） 当 时，由 即 得基础解系 只需把 单位化，得 当 时，由 即 得基础解系 只需把 单位化，得 得正交矩阵 有 * 高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组 *