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解决函数综合题方法举例 　　摘要：函数综合题在高考中起到了“选拔”数学优等生的作用，其中主要包含了函数、不等式、向量、解析几何等知识模块，渗透了数形结合、分类讨论、等价转换等基本数学思想方法，题型灵活多变，学生容易失分，也是习题教学的重点难点。本文以几道解决具有代表性的函数综合题为例，分析解决此类题的方法和技巧。 　　关键词：函数；高考；综合题 　　函数贯穿于高中数学整个主线，与不等式、向量、圆锥曲线等知识模块紧密联合在一起考查学生的数学能力。在新课程改革之后，函数往往结合导数、不等式、数列等知识一起来考查，对学生的要求很高。 　　笔者仔细研究分析了近几年全国各地的高考试题中函数综合题，体会到新课改后高考试题在知识、方法、以及考查方向的实时俱进。在新课程改革之后，高考始终以双基为基本点，立足于检验学生的能力，更注重知识的联系、交汇、以函数知识为载体注重考查数学推理能力和解决问题的思想方法，尤其考查学生对数学问题的理解水平和数学素养。笔者借本文总结了新课改后解决函数综合题的方法。 　　1运用消元、换元法处理含多变量函数压轴题 　　例1已知函数f（x）=2lnx-x2-ax。如果x1、x2（x11）为变量的函数。要证明（6）大于零等价于证明g（t）=lnt-3t-12t+1（t1）在任意t1上都大于零。 　　第三步：构造函数，利用导数，根据函数单调性证明不等式： 　　要证明g（t）=lnt-3t-12t+10（t1）在任意t1都成立，显然g（1）=0，即证明 　　g（t）在t1上是单调增函数，求导可得g（t）=t-14t-1t2t+120对任意t1立，所以g（t）在t1上是单调增函数，所以g（t）g（1）=0。即任意t1，g（t）0都成立。 　　2捕捉隐含条件，把未知转化为熟悉的问题 　　例2（09全国卷II）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x11-2ln24。 　　第（1）问分析： 　　f（x）是定义在0，+∞上的函数，f（x）有两个极值点的充要条件是f（x）的导函数f（x）=0有两个不同的根，并且注意到这两个实根的取值范围，这一点往往被基础不扎实的学生忽略了，导致解题受阻。我们求出f（x）后，令f（x）的分子函数为g（x），转化讨论含参数a的函数g（x）的二次函数根分布的情况，这类问题是高三学生非常熟悉也能完整解决的。 　　隐藏条件1：x1、x2都大于-1，即-1-1） 　　令g（x）=2x2+2x+a（x-1），其图像的对称轴是x=-12，有题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，其充要条件是： 　　△=4-8a0g（-1）=a0 　　所以得到a的取值范围是a∈0，12 　　当x∈-1，x1时，f（x）单调递增；当x∈x1，x2时，f（x）单调递减；当x∈x2，+∞时，f（x）单调递增. 　　第2问分析： 　　求证fx21-2ln24，f（x2）=x22+aln（1+x2），含有参数a，想办法把参数a用含有自变量x2的等式替换出来，联想到x2是f（x）的极值点，应满足f（x2）=0即g（x2）=0，则g（x2）=2x22+2x2+a=0，所以a=-2x22+2x2。 　　隐藏条件2：f（x2）=0，则a=-2x22+2x2，由此可以消去了参数a。 　　所以f（x2）=x22♂+aln（1+x2）=x22♂-（2x22♂+2x2）ln（1+x2），因为g（x）的对称轴是x=-12，则-10，所以h（x）h-12=1-2ln24。 　　3灵活采用参数分离法 　　例3：设函数f（x）=（x-a）2lnx，a∈R. 　　（1）若x=e为f（x）的极值点，求实数a的值； 　　（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈0，3e，恒有f（x）≤4e2成立，注：e为自然对数的底数。 　　本题综合考查了函数的极值、单调性和求最值的方法，运用导数给问题的解决开辟了新的途径，但是导数只不过是创设此题情境的一种取向，求导的过程并不难，它的最终落脚是考查函数的性质、不等式的解法、等价转换的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想以及导数的思想。 　　第1问：直接利用f（e）=0可得a的值。 　　第2问分析： 　　对x∈0，3e，恒有f（x）≤4e2成立，即（x-a）2lnx≤4e2。 　　注意到x-a2≥0恒成立，而当x∈0，1时，lnx≤0恒成立，此时对任意a∈R，（x-a）2lnx≤0恒成立。则当x∈0，1时，对任意实数a，（x-a）2lnx≤4e2恒成立。 　　所以只需要考虑x∈1，3e的情况。 　　第一步：从参数和变化的自变量范围中，把参数看做相对固定的量，按照自变量的范围、函数的性质，灵活的讨论不等式成立的范围。 　　当x∈1，3e时，lnx0，此时由（x-a）2lnx≤4e2等价