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三、对称性算法 对称性算法举例 对称性算法举例 对称性算法举例 例12 D D1 思考： -1 -1 1 1 * 习题二重积分计算 一 的解题程序 （1）画出积分域D的草图。 （2）选择坐标系，主要根据积分或D的形状，有时也参看被积函数的形式，见表11-1。 表11-1 （3）选择积分次序 选序的原则：① 先积分的容易，并能为后积分创造条件； ② 对积分域D的划分，块数越少越好。 （4）确定累次积分的上下限，作定积分运算。 定限口诀： 后积先定限,(累次积分中后积变量的上下限均为常数) 限内划条线，(该直线//坐标轴且同向.) 先交下限写,(上下限或者为常数或者后积分变量的函数) 后交上限见。 直角坐标系中积分限的确定，参看图11-2(a)、(b). 直线l//y轴它先与D的边界曲线y =? 1(x)相交,? 1(x)取做下限,后成D的边界曲线y =? 2(x)相交,? 2(x)取作上限,故 与以上作类似分析，可得 注：一般讲，后积分的变量，积分上下限均为常数；先积分的变量 ，积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数。 图11-2(b) 图11-2(a) 直角坐标系中积分限参看图11-2(a)、(b). [解] （a）显然是错的，因为后积分的上、下限不能含有变量；（b）也是错的，因为先积分的上、下限或者为常数或者后积分变量的函数，而（b）违背了；（c）也是错的，原因是改变积分次序不会改变积分域，由排除法可知（d）该入选。 【例1】 设 ，则改变其 积分次序后为 。 二 极坐标系中积分限的确定 一般而言，极坐标系中二重积分的积分次序是“先?后? ”。 即 积分限随极点0与积分域D 的边界曲线的相对位置而定。 当极点0在域D的 边界曲线之外时 图11-3(a) 2. 当极点0在域D的边界线上时 图11-3(b) 3. 当极点0在积分域D的边界线之内时 图11-3(c) 3. 当极点0在积分域D的边界线之内时 图11-3(c) 三 典型例题分析 1. 更换积分次序 解题程序 （ 1）由所给累次积分的上下限写出表示积分域D的不等式组； （2）依据不等式组画出积分域D的草图； （3）写出新的累次积分，积分限的确定与前面所讲的相同。 三 典型例题分析 1. 更换积分次序 解题程序 【例2】更换下列积分次序： [解] （1）由积分的上下限知 由D1, D2作出D的图形，见图11-4。 于是 故 图11-4 分别写出右边两个积分所确定的不等式组 由D1, D2作出D的图形见图11-5，于是 图11-5 作出其图形，见图11-6，将积分域 D分成D1，D2及D3三部分。 图11-6 由 写出确定D的不等式组， 并作出其图形，见图。 图11-7 图11-7 [解] 极坐标系中的二重积分，若先对?后对?进行积分，则应注 意如下两点： （1）积分域D的边界曲线均用极坐标表示； （2）若以原点0为圆心的一系列同心圆与域D的边界曲线中的 不同曲线相交，则应在交点处把?的区间分开处理。 【例11.6】更换下列积分次序： 作图, 见图11-8。 图11-8 图11-9 等等，一定要将其放在后面积分。 凡遇如下形式积分： 2. 选择积分次序 [解] （1）∵ 不能用有限形式表示出其结果，∴它不能 先积分，故 图11-10 X=0 X=y D是以(0,0),(1,1),(0,1)为 【例3】计算下列二重积分： 顶点的三角形。 D是由直线y = x及抛物线y = x2所围成的区域。 （2）因为 不能用有限形式 表示出其结果，所以它不能先积分，故 图11-11 【例4】计算 [解] ∵ 不能用有限形式表示出其结果 先要写出右边两积分的积分域 所对应的不等式组 图11-12 X=y X= ∴ 不能先计算,为了改变积分次序 【例5】设函数f(x)在[0,1]上连续，并设 ，求 [解] ∵ 不能直接计算出来。 ∴ 必须考虑更换积分次序，为此先画 出积分域D的草图，见图11-13。 图11-13 X=0 X=y 两者相加=2I 于