数分竞赛训练（15）哈工大2009年数分考研试题及解答.doc

哈尔滨工业大学2009年数学分析考研试题 （1）证明 对，成立 ； 证明极限存在； 证明收敛，其中为不超过的最大整数. 设为内有界函数，证明：在内一致连续当且仅当，其中. 设，记，，则在上有定义且连续，并求出的简洁表达式. ，.求证：， ； . 设，，满足， 证明存在非负单调函数数列，使得，. 对发散的正项级数，记，设，讨论的敛散性. 设在上逐点收敛且具有性质： 对，，当，时，对一切， 有，用有限覆盖定理证明在上一致收敛. 设，， 证明：当时，有收敛，且. （1）讨论函数在处的可微性； 求函数在下的最大值与最小值. （1）求使曲线积分与路径无关，这里不通过轴. 计算，其中为为侧的部分. 计算，其中为曲线 ，从到的部分. 哈尔滨工业大学2009年数学分析考研试题解答 （1）证明：设，， 由，， 得在上严格单调递增， 所以当时，有， 即得，； 设，， 因为， 所以在上严格单调递增， 于是当时，有， 即得，， 故对，成立. 证明：由（1）结果，对每一，有 ， 令 ， 即得有下界， 由 ， 得严格单调递减， 根据单调有界定理，得收敛，即存在， 故得存在. 证明：设，， 显然，， 于是收敛等价于收敛， ，， ， 显然收敛， 即得收敛， 于是收敛，故收敛. 或者 ， ， 而收敛，所以收敛，故收敛. 证明：因为在内有界，存在，使得，， 对任意，利用拉格朗日中值定理，得 ， 其中介于和之间， 显然有, 于是有， ， 由此可知在内一致连续当且仅当在内一致连续， 在内一致连续当且仅当， 结论得证. 设在上连续， 记，. 则（1）在上一致收敛于； 在上一致收敛,并求其和函数. 证明：因为在上连续， 可设，， ， ， 由归纳法，可推知 ，， 显然，， 由于收敛， 所以在上一致收敛. 于是得在上一致收敛于； 在上一致收敛， 设， 由于， 所以也在上一致收敛， ， ， ， . 设在上连续，记，， 则有 对任意，在上一致收敛于； ，； 对任意，在上一致收敛. （1）证明：利用拉格朗日中值定理， 存在，使得 ， ， ，； 设， 则有，， ， ， 故有， 结论得证. 证明 ， ， 易知，， 显然，， ，， 由， （1）若，若，则， 若，则， 当时，由，， 由推广的罗尔定理，存在，使得； 当时，取，， （2）若， 当，时，，，又， （或者用保号性及介值定理，存在，使得）， 必有在某处达到最大值，； （3）当，时，，，又， （者用保号性及介值定理，存在，使得）， 必有在某处达到最小值，； 综上所述，存在，使得， 又， 利用推广的罗尔定理，存在， 使得， 再由，， 利用推广的罗尔定理，存在，使得， 这样继续下去， 得到 存在非负的单调增函数数列，使得， 结论得证. 六、设，， 证明： （1）当时， 收敛； 当，且时， 发散。 当，且收敛时，收敛。 证明 对任意正整数， ，（）， 因为，所以， （1）当时，利用不等式， 得 ，有界，故收敛； （2） 当，且时， ， 无界，所以发散； 当，且时， 方法一 ， 对任意大的，然后取充分大，就可使上式成立，于是不是基本列，故发散。 方法二 因为 ， ，从而发散， 若不收敛于0，则发散， 若收敛于0， 则得， ，（充分大），， 于是发散。 当，且时，发散； 当，且时， 因为， 所以发散； （3）当，且存在有限， ，， 由于收敛，所以收敛； 因为，， 从而 ，由收敛， 得收敛。 证明：由题设条件，知 在上是等度一致连续的， 又在上逐点收敛， 即由Osgood定理，得 在上一致收敛. (Osgood定理)设函数列在有限闭区间上连续, 在上等度连续，如果 ,, 则（1）在上连续, （2）在上一致收敛于 。 证明 由在上等度连续，得 对,,当，，时,不等式 ，对所有成立，令，取极限得， ，由此得在上连续； 下面欲用“有限覆盖定理”。 由,； 对,，使得 当时，有， 由于在处连续及上等度连续， 必存在，使得当且，时，有 ， （1） 于是这些区间的并 构成的一个开覆盖。 由有限覆盖定理知道，从中可以选出有限可开区间， 它们仍能构成的一个开覆盖。 即； ，，， ； （2） 命， 对任意，必存在中的某个开区间，使得 ，当时，有 ，（3） 于是，当时，， 对一切成立。 这正说明了 在上一致收敛。 证明：， 由题设条件知有界，单调递减，， 由Dirichlet判别法， 收敛，即得收敛. 利用A