微分方程和其变分法.pdf

微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各 种类型的方程组建模。 微分方程建模适用的领域比较广，利用它可建立纯数学 （特别是几何）模型， 物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型，航空航天（火箭、宇宙飞船技术） 模型，考古（鉴定文物年代）模型，交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间） 模型，生态（人口、种群数量）模型，环境（污染）模型，资源利用（人力资源、 水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理）模型，生物（遗传问题、神经网 络问题、动植物循环系统）模型，医学（流行病、传染病问题）模型，经济（商 业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机）模型，战争（正规战、游击战） 模型等。其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散 模型适用于差分方程及其方程组建模 种群模型 1． Malthus 模型 模型假设：人口增长率不变。 模型建立： 设时刻t 的人口为N (t) ,把N (t) 当作连续、可微函数处理（因人口 总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）。 在t 到t 1 时间段内,人口的增长量为 N (t 1) N (t ) N (t )  人口的增长率为  N (t 1) N (t ) N (t )  N (t ) N (t ) 并设t t0 时刻的人口为N 0 ,于是 dN  rN ，  dt  ( ) ． N t N  0 0 用分离变量法易求出其解为 r (tt0 ) N (t) N e 0 2 ． Logsitic 模型  N (t)  假设增长率等于r1 N ,即净增长率随着N (t) 的增加而减小,  m  当N (t) N m 时,净增长率趋于零,按此假定建立模型： dN  N  ，  r 1 N dt  Nm   N (t ) N ，  0 0 其解为：