2.4 隐函数同参数方程的导数.ppt

思考与练习 若曲线由极坐标方程 给出, 利用 因此曲线 切线的斜率为 , cos ) ( q q r x = q q sin ) ( r y = q q sin ) ( r - 可化为极角 参数方程, q 例 解 将曲线的极坐标方程转换成 则曲线的切线斜率为 所以法线斜率为 又切点为 故法线方程为 即 参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程,借助参数方程处理问题的方法,在高等数学中将多次遇到. 例. 证 容易漏掉 如: 注 求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义, 这样对求更高阶的导数也容易处理. 例 解 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为 相关变化率解法三步骤 找出相关变量的关系式 对t 求导 相关变化率 求出未知的相关变化率 三、相关变化率 相关变化率 之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率, (1) (2) (3) 例 解 (1) (2) 仰角增加率 (3) a a 2 2 tan 1 sec + = 500 , 1 tan , 500 = = a 时 当 h 四、小结 隐函数求导法则 工具:复合函数链导法则; 对数求导法 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导. 参数方程求导 注意:变量y是x的函数. 将方程两边对x求导. 工具:复合函数链导法则、反函数的求导法则. 相关变化率 通过函数关系确定两个变化率之间的 解法: 三个步骤. 关系, 从其中一个变化率(已知)求出一个变化率; 思考与练习 求其反函数的导数 . 1. 设 由方程 确定 , 求 2. 设 3. 4. 已知 ，求 求其反函数的导数 . 解: 方法1 方法2 等式两边同时对 求导 1. 设 由方程 确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 ② 当 时, 故由 ① 得 再代入 ② 得 求 ① 2.设 运用取对数求导法 两边关于 x 求导： 解 3. 导数与微分 §2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 第二章 导数与微分 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 小结 思考题 作业 定义 1. 隐函数的定义 所确定的函数 一、隐函数的导数 称为 隐函数(implicit function). 的形式称为 显函数. 隐函数的 可确定显函数 例 开普勒方程 开普勒(J.Kepler)1571-1630 德国数学家,天文学家. 的隐函数客观存在, 但无法将 表达成 的显式 表达式. 显化. 2. 隐函数求导法 隐函数求导法则 用复合函数求导法则, 并注意到其中 将方程两边对x求导. 变量y是x的函数. 隐函数不易显化或不能显化 如何求导 例 解 则得恒等式 代入方程, 将此恒等式两边同时对x求导,得 因为y是x的函数, 是x的复合函数, 所以 求导时要用复合函数求导法, 0 = x 0 = y 0 = x 0 = y . 1 = 虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y. 允许在 的表达式中含有变量y. 一般来说,隐函数 求导, 求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 从中解出即可. 于是y的函数便是x的复合函数, 的方程. y是x的函数, 例 解 法一 利用隐函数求导法. 将方程两边对x求导,得 解出 得 法二 从原方程中解出 得 先求x对y的导数,得 再利用反函数求导法则,得 例 解 切线方程 法线方程 通过原点. 例 解 例 解 将上面方程两边再对 或解 解得 2 3 ) 4 ( x y - ) 1 12 ( 2 - ￠ × y y 例 求证抛物线 上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于a 证 故曲线上任一点 处切线的斜率为 切线方程为 故在两坐标轴上的截距之和为 解 确定, 3. 对数求导法 作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 (1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数. 对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的 求导变得更为简单. 适用于 方 法 先在方程两边取对数, --------对数求导法 然后利用隐函数的 求导法求出导数. 例 解 等式两边取对数得 隐函数 对这类型的题用取对数求导法很方便哦！ 两边对x求导得 等式两边取对数得 ) ( ln ) ( x u x v . ￠ 对数求导法常用来求一些 复杂的乘除式、根式、幂指函数 等的导数. 例 解 等式两边取对数得 例 解 两边取对数得 两边对 x 求导得 注 复合函数 改写成 如上例 则 只要将 幂指函数也可以利用对数性质化为: 再求导, 有些显函数用对数求导法很方便. 例如, 两边