概率论和数理统计第4章.ppt

Soft Computing Lab. 四、数学期望的性质 从而 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 为避免随机变量本身度量单位不同而影响它们 相互关系的度量，可将每个随机变量标准化， 即取 并将 作为 与 之间相互关系的一种度 量， 而 定义 设 为二维随机向量， 称 为随机变量 和 的相关系数， 有时也记 为 特别地， 当 时， 称 与 不相关. 相关系数的定义 定理1. 定理2. 若 和 相互独立， 则 反之不然. 注： 例3 设 的分布律为 易知 于是 不相关. 但 知 不是相互独立的. 事实上, 和 具有关系: 的值完全可由 的值所确定. 定理3. 若 则 存在常数 使 而且 时， 即X和Y以概率1线性相关. 而且 时， 注： 相关系数刻画了 和 间“线性相关”的 程度. 的值越接近于1， 与 线性相关程度越高； 的值越接近于0， 与 线性相关程度越弱； 时， 与 有严格线性关系； 时， 与 无线性关系； X和Y以概率1线性相关. 解 例4 结论 二、随机向量的数学期望向量、方差向量、协方差矩阵、相关系数矩阵 显然方差-协方差矩阵和相关系数矩阵都是对称矩阵 先考虑二维正态分布的概率密度， 再将其推广到 维情形. 二维正态随机向量 的概率密度为 记 协方差矩阵 易验算 三、n维正态分布 易验算 故二维正态随机向量 的概率密度可用矩阵 表示为 其中 是 的转置. 进一步， 向量， 若它的概率密度为 设 是一个 维随机 若它的概率密度为 设 是一个 维随机向量， 则称 服从 维正态分布. 其中， 是 的协方差矩阵， 是它的行列式， 表示 的逆矩阵， 和 是 维列向量， 而 是 的转置. 维正态分布的几条重要性质 1. 维正态变量 的每一个分量 都是正态变量， 反之， 若 2. 维正态变量 服从 维正态 分布的充要条件是 任意非零线性组合 均服从一维正态分布 正态变量. 都是 不全为 零）. （其中 3. 若 服从 维正态分布， 设 是 的非零线性函数， 则 也服从 维正态分布. 注： 这一性质称为正态变量的线性变换不变性. 4. 设 服从 维正态发布， 则“ 相互独立” 等价于“ 两两不相关” . 作业 P130练习4.3 1. 2. 3. P131习题四 例1 设随机变量 具有 分布, 其分布律为 求 解 故 例2 设 求 解 的分布律为 则 而 故方差 可见, 泊松分布的数学期望与方差相等, 于参数 因此 就能完全确定它的分布了. 都等 只要知道泊松分布的数学期望或方差 例3 设 求 解 的概率密度为 而 故所求方差为 例4 设随机变量 服从指数分布, 其概率密度为 其中 求 解 于是 即有 例5 解 证明 (1) 设 C 是常数, 则有 (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 证明 二、方差的性质 (3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 证明 推广 例6 设 解 表示 重伯努利试验中 “成功” 的次数. 若设 如第 次试验成功 如第 次试验失败 则 是 次试验中 “成功” 的次数, 且 服从 分布. 故 求 故 由于 相互独立, 于是 例7 设 证明: 当 时, 达到最小值. 证 依题 两边对 求导数, 有 显然当 时, 又因 所以当 时, 达到最小值, 最小值为 显然 例8 解: 定义 若 且它们相互独立， 则它们的非零线性组合： 是不全为0的常数) 仍然服从正态分布， 于是， 由数学期望和方差的性质知 一个重要的结果. 故有 例如， 若 且 相互独立， 则 也服从正态分布，而 三、矩 定义 分别记为 显然 即 换算公式 数学期望、方差、矩统称为数字特征 作业 P124练习4.2 1. 2. 3. 4.3 随机向量的数字特征 一、协方差和相关系数 二、随机向量的数学期望向量、方差 向量、协方差矩阵、相关系数矩阵 三、n维正态分布 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的 协方差和相关系数 本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间依赖 关系的一个数字特征. 一、协方差和相关系数 在一定程度上反映了随机变量 与 之间的关系. 在证明方差的性质时， 已经知道， 当 与 相互独 立时， 有 反之则说明， 当 时， 与 一定不相互独立， 这说明量 协方差的定义 定义 设 为二维随机向量， 若 存在， 则称其为随机变量 和 的协方差， 记为 即 其概率分布为 则 若 为连续型随机向量， 其概率密度为 为离型随机向量， 若 利用数学期望的性质， 易将协方差的计算