§2.2 外测度及测度的延拓.pdf

§2.2 外测度与测度的延拓 教学目的 本节讨论如何将环R 上的测度延拓到R 生成的σ -代数上 去. 这是定义测度常用的方法. 下一节将用这个方法定义重要的Lebesgue 测 度. 本节要点 本节所述测度的延拓过程思路较复杂, 论证较繁难. 应注意 讲清主要思路, 定理的证明应注意交代主要思想. 一般说来, 要在一个比较复杂的集类上定义一个满足某些特定条件的测度, 往往并非 易事. 设R 是一个环, σ(R ) 是由R 生成的σ -代数. 一般情况下, σ(R ) 要比R 大得多. 显然, 在R 上定义一个测度要比直接在σ(R ) 定义容易. 因此, 如果我们要在σ(R ) 定义 一个满足某些特定条件的测度, 我们可以先在R 上定义这个测度, 然后再设法延拓到 σ(R ) 上去. 本节将证明, 若µ 是定义在环R 上的测度, 则µ 总可以延拓到一个包含 σ(R ) 的σ-代数上去. 利用测度的延拓定理, 许多重要的测度可以用这种方法构造出来. 本节仍设X 是一固定的非空集,P (X ) 是X 的全体子集所成的集类. 外测度 设C 是一个非空集类, A ⊂X . 若{A } 是C 中的有限或无穷序列, 使得 n k ∞ A ⊂ A (或A ⊂ A ), 则称{A } 是A 的一个C 覆盖. 由于有限并总可以写成可数并 ∪ n ∪ n n n 1 n 1 k ∞ (只要令A A (n k ), 则 A A ). 因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖. n k ∪ ∪ n n n 1 n 1 设µ是环R 上的测度. 对每个A ⊂X , 令 ∞ ∗ µ (A) inf{∑µ(A ) : {A }是A 的R 覆盖}. n n n 1 ∗ ∗ 若A 无R 覆盖, 则令µ (A) +∞. 这样定义的µ 是定义在P (X ) 上的非负值集函数. 称 ∗ µ µ 为由 导出的外测度. 定理1 设 ∗ ∗ µ是环R 上的测度. µ 为由µ导出的外测度. 则µ 满足: (i). ∗ µ (∅) 0. A ⊂B , 则µ∗(A) ≤ ∗ (ii). 单调性: 若 µ (B). 43 (iii). 次可数可加性: 对X 中的任意一列集{A } 成立