71 紧致空间.ppt

第7章 紧致性 * §7．1紧致空间 本节重点：掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法。（这些方法哪些是充要条件?） 　　掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的。 1.定义7.1.1 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间． 注：每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但反之不然． 一、紧致性及其刻画 例如 包含着无限但可数个点的离散空间是一个 Lindel?ff空间,但它不是一个紧致空间． 定义7.1.2　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集, 如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集． 定理7.1.1　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖． Y X 因此 有一个有限子覆盖,设为 {　　　　　　　 　 }, 证明：必要性 设Y是拓扑空间X中的一个紧致子集, A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成． A 则容易验证集族　　　　　　　　也是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成. 于是 A 的有限子族　　　　 　覆盖Y． 　　此时易见A 的子族{　　　　｝覆盖Y．这证明Y是X的一个紧致子集． 　　充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖． 　 则对于每一个A∈A 存在X中的一个开集　 使得A=　 ∩Y． 设A是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成． 　 因此　　　　 　是由X中的开集构成的Y的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为{　　　　　　} A 图 继续 Y X A UA 这是因为如果设A＝{(－n，n) R | n∈Z+},则A的任何一个有限子族 　　{　　　　　　　　　　　　} ,由于它的并为 　　(-max{　　　　},max{　　　　}) 所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖． 例7.1.1 实数空间R不是一个紧致空间． 2.例子 例 有限补空间（X,T ）为紧致空间． 是一个有限集，所以A 的子族 也是有限的，易见它也覆盖X． 因此，包含着有限补空间是紧致空间。 　　证：设A是它的一个开覆盖．任意在A 中取定一个非空集合A．（不妨设A≠Φ、X），则X-A为有限集，记为 对于每一个 在A中选取一个 例 平庸空间（X,T ）为紧致空间． 例 设（X,T ）为离散空间， 则X为紧致的 包含着无限但可数个点的离散空间是一个 Lindel?ff空间,但它不是一个紧致空间． 定理7.1.2 设X是一个拓扑空间．则X是一个 紧致空间当且仅当X中的每一个具有有限交性质 的闭集族都有非空的交． 3.等价说法 定义7.1.3 设A 是一个集族．如果A 的每一个 有限子族都有非空的交（即如果A1是A 的一个 有限子族，则　　　　　），则称A 是一个具有 有限交性质的集族． A1 证明　　　: 设X是一个紧致空间．用反证法. 设F是X中的一个具有有限交性质的闭集族．设F≠　．如果　　　　　，则令A={　　∈F}． 由于 这说明F不具有有限交性质．矛盾． 所以A 是X的一个开覆盖．于是A 有一个有限子覆盖，设为{　　　　　}． 从而 “　　”，设X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交． 为证明X是一个紧致空间，设A 是X的一个开覆盖．我们需要证明A有一个有限子覆盖． 如果A=　，则　　　　　，这蕴涵X=　以及A 的每一个子族都是X的覆盖．以下假定A≠　． A A 此时F={　|A∈A } 便是X中的一个非空闭集族，并且 因此，它不具有有限交性质．也就是说，它有 一个有限子族其交为空集． 设F的这个有限子族为{　　　　　}， 所以是A的一个有限子覆盖． 定理7.1.3　设B 是拓扑空间X的一个基，并 且X的由B 中的元素构成的每一个覆盖有一个 有限子覆盖．则X是一个紧致空间． 证明 设A是X的一个开覆盖．对于每一个A∈A 存在B的一个子族BA 使得 令　　　　　　由于 A1 BA BA BA A BA A1 A 故　A1是一个由B的元素构成的X的一个覆盖， 所以 A1有一个有限子覆盖，设为　　　　　, 对于每一个　，i=1,2,…，n， 于是 对于A的有限于族{　　　　　}有 也就是说A有一个有限子覆盖{　　　　　}. BAi A1 A