第1节(留数定理).ppt

1. 留数如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据柯西定理 但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域0|z-z0|R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线l的积分 f(z)=...+a-n(z-z0)-n+...+a-1(z-z0)-1 +a0+a1(z-z0)+...+an(z-z0)n+... 其中a-1就称为f(z)在z0的留数, 记作Resf(z0), 即 2 留数定理 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 b1,b2,...,bn 外处处解析. l是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则 [证] 把在l内的孤立奇点zj(j=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线lj围绕起来, 则根据复合闭路定理有 求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中a-1(z-z0)-1项的系数即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利. * * * 第四章 留数定理 第1节 留数定理 第2节 应用留数定理计 算实变函数定积分 第3节 计算定积分补充例题 一般就不等于零. §4.1 留数定理 一. 留数及留数定理 因此将f(z)在此邻域内 展开为洛朗级数 后,两端沿l逐项积分, 右端各项积分除留下的一项等于 外, 其余各项积分都等于零, 所以 ? í ì = - ò ) ( , 1 ) ( , 0 ) ( 2 1 a a p 包围 不包围 l  l  dz a z i l -1 D b1 b2 b3 bn l1 l2 l3 ln l 留数定理将回路积分化为被积函数在回路所围区域上各奇点留数之和 ① l 包围一个 f(Z) 的孤立奇点 0 Z 时 ) ( z f = ? - +￥ -￥ = k k k z z a ) ( 0 Cauchy 定理知： ò l dz z f ) ( = ò 0 ) ( l dz z f 又 Q i p 2 1 ò - l z dz a = ? í ì ) ( 1 ( 0 a a 包围 ） 不包围 l l dz z f l ò ) ( = ò ? - +￥ -￥ = 0 ) 0 ( l k k k dz a z z = 1 - a 2 i p =2 i p 1 - a 1 - a =Resf( 0 z ) ② l包围多个孤立奇点时： ? ò = = n j j l b f i z z f 1 ). ( Res π 2 d ) ( 即 ò + + + = n l b f b f b f z z f i 2 1 ) ( Res ) ( Res ) ( Res d ) ( π 2 1 L ò ò ò ò + + + = l l l l z z f z z f z z f z z f n . d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( 2 1 L 设函数f(z)在无限远点的邻域上解析,来计算绕 的正向回路 积分 在l以外的区域上没有f(z)的有限远奇点,将f(z)在 无限远的邻域上展为洛朗级数,并代入积分式,可得 除k=-1项外,其他各项为零,则有 -a-1定义为f(z)在无限远点的留数 ,留数定理对于无限 远点也成立,但要注意,即使无限远点不是奇点, 也可不为零 3. 无穷远点的留数 (1) (1)+(2)可得 即函数在全平面上所有各点的留数之和为零,这里所有的点 包括无限远点和有限远的奇点. 如果f(z)只有有限个奇点,则所有有限远奇点必在某个圆的内部 在环域 内任取一个回路l,则由留数定理得 (2) （一）可去奇点的留数： 对于可去奇点由定义知：Resf(z0)=0 1. 如果z0为f(z)的一阶极点（单极点）, 则 （二） 极点的留数 二. 留数的计算方法 ) ( z f = ? - ￥ - = 1 ) ( 0 k k k z z a = 1 - a ) ( 0 1 z z - - + 0 a + 1 a ) ( 0 z z - + 2 a ) ( 0 2 z z - + …… ) ( 0 z z - f(z)= 1 - a + 0 a ) ( 0 z z - + 1 a ) ( 0 2 z z - + 2 a ) ( 0 3 z z - + …… ) ( ) ( lim 0 0 z f z z z z - ? = 1 - a =Resf( 0 z ) 对于 f(z) 可表示为形式 f(z)= ) ( ) ( z Q z P 时，且 P(z),Q