§1.1 函数相关知识回顾.ppt

第一章 函数 §1.1 函数相关知识回顾 * §1.2 基本初等函数与初等函数 §1.3 经济学中常用的函数 §1.1 函数相关知识回顾 一. 集合 二. 绝对值的性质 三. 邻域 四. 函数 五. 分段函数 六. 复合函数 一、集合 区间是用得较多的一类数集. M={ x | x所具有的特征} 这里x所具有的特征, 实际就是x作为M的元素适合的 充要条件. 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 组成 这个集合的事物称为该集合的元素. 设M是具有某种特征 的元素 x 的全体所组成的集合, 记作 §1.1 函数相关知识回顾 二、绝对值的性质 定义1 性质 三、邻域 设a, b都是实数, 且a b, 数集{ x | a x b }称为开区 间. 记作(a, b), 即 ° ° b a 类似还有闭区间, 半开半闭区间以及无限区间. 其中数 b?a 称为有限区间的长度. 其中 a 和 b 称为开区间的端点, (如图) a b ? ? ? ° a b ? ° a b ° a ? a ? a ° a 在微积分中常用到特殊的开区间——邻域. 定义1 以 x0为中心, 以δ 为半径, 长为2δ 的开区间. 即 称为点 x0 的δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ). 例1 点2的1邻域{ x | | x - 2| 1} = (1, 3). 定义2 点 x0 的去心邻域. 即 ° 定义3 点 x0 的左邻域, 即 点 x0 的右邻域, 即 可类似定义多元微积分中用到的平面上点的邻域. 点?( ? )的 ? 邻域记为{ x | | x + ? | ? }= (-1, 0). 定义4 平面上以点M0( x0, y0)为心, 以δ 0 为半径的圆 例2 点(1,1)的 ? 邻域是平面上以点(1, 1)为心, ? 为 o 1 1 x y 半径的一个开圆—圆邻域. 即 内的点的全体. 即集合 或以M0 为心, 2δ为边长的正方形区域. 即集合 为M0 的子邻域——方邻域. o y0 x0 x y 四.函数 定义5 设 x, y 是两个变量, 若对D中每一个值 x, 按照 1. 函数的定义 2.函数的表示法 一定的对应法则 ?, 总有确定的数值和它对应, 则称 y是 x的函数; 记作 y=?(x). 称 x 为自变量, y 为因变量; D 为定义域; 集合 列举法、描述法、列表法、图象法. 为值域. –x x (–x,?(x)) (x,?(x)) –x x (–x,–?(x)) (x,?(x)) x y x y o o 图1 的图形具有对称性 (图1) . (1) 函数的奇偶性: 设函数的定义域D关于原点对称(为 对称区域),而且?x∈D,若?(?x)=±?(x),则称?(x)为 3. 函数的性质 (2) 函数的单调性:若?(x)对其定义区间 I 上, 则称?(x)在区间 I 上严格单增或单调增加;对应曲线是上升的. 如图2所示. y= ?(x) o x x y y o 图2 y= ?(x) 则称?(x)在区间 I 上严格单减或单调减少;对应曲线是下降的. 当 时, 恒有 当 时, 恒有 (3) 函数的有界性: ?M 0 , ?x∈D, | ?(x) |≤M, 则称 ?(x) 在 D 内有界. (图3) o y=–M y=M x y y= ?(x) y=–M x o y y=M 图3 x o y y= ?(x) y= ?(x) (4) 函数的周期性: ?T≠0, 使 ?(x+T)=?(x). 则称?(x)为 y o x –2T T –T 2T y= ?(x) 其图象每隔 T个单位就重复. (图4) 周期函数. 满足函数的最小正数 T 称为 ?(x) 的 (最小正) 周期. 图4 4. 显函数及隐函数 5. 反函数 由方程 F(x , y) = 0 所确定的函数 设函数的定义域为D, 值