实对称阵的概念.ppt

* 设 n 维向量： 曾定义了?+?，k?，现在定义“积”，“长度”。 （一） 向量的内积（或数量积） 1. 向量的内积: 或记为：? ? ? 例 性质 2. 向量的长度 ? 的长度，或范数， 或模 性质 证 3. 向量的单位化 的单位向量: （二） 正交向量组 定义4.7（P.192） 称 ? 与 ? 正交（垂直）， 例 记为 定义4.（P.193） 则称 为正交向量组。 两两正交 例 练习 是否为正交向量组？ 是 例 在 R3 中， 求向量 ，使 为正交向量组。 设 ， 则应有 其基础解系为 事实上， 也满足条件。 解 思考题：正交向量组单位化后，是否仍为正交向量组？ 正交向量组与线性无关组的联系 定理4.8 （P.193） ? 证 施密特（Schmidt）正交化法 （P.193） 类似可验证其它向量的正交性。＃ 直观解释： 正交化： 例 （P.194） 正交化： 单位化： ＃ （三） 正交矩阵 定义 4.9 （P.194） n阶实矩阵 Q，若 则称 Q 为正交矩阵。 例 1. 单位矩阵I 为正交矩阵。 正交矩阵的性质： 思考题: 上述性质的逆命题是否成立？ 证10 两边取行列式： 答案: 20成立，10，30不成立。 定理4.9 （P.195） Q 的（行）列向量组是单位正交向量组。 证 此定理给出了正交矩阵的判别方法： (2) 行（列）向量组是否为正交组。 (1) 行（列）向量是否都为单位向量； 单位向量组 正交向量组 是单位、正交向量组。 练习 用定理4.9判别下面的矩阵是否为正交阵 答案：Q 是，P 不是。 练习 证 （四） 实对称阵的特征值和特征向量 即实对称阵的对角化 定理4.10 （P.196） 实对称矩阵的特征值都是实数。 证略 问：特征向量是实向量吗？ 定理4.11 (P.196) 证 实数 引理 (P.196) 将其正交化、单位化后仍是 A 对应于 的特征向量。 ? A 对应于 有 个线性无关的特征向量。 A 为实对称阵， 为 A 的 重特征值， （证略） 如： 令 则 单位化后： 定理4.12 (P.197) A 为实对称阵 ? 存在正交阵 Q , 使得 实对称阵一定能对角化！ 证：由引理可得A有n个线性无关的特征向量，所以可对角化； 又因正交化、单位化后仍是特征向量，且线性无关，即可得到可逆阵（实为正交阵）Q. 实对称矩阵的对角化步骤： 3° 依次将正交化、单位化的 n 个特征向量作为 Q 的列向量，Q 为所求正交阵。 问：可否将n 个特征向量全求出后再正交化、单位化？ 例 (P.198) 设 求正交矩阵Q，使 为对角矩阵。 解 (I-A)X=0的同解方程组为: 基础解系为: 将 正交化： 将 单位化： 而 (10I－A)X=0的同解方程组为: 基础解系为: 令 则 Q 为正交矩阵，使得 单位化 特征值、特征向量在经济管理中的应用 发展与环保问题 为定量分析工业发展与环境污染问题，某地区提出如下增长模型： 其中： 为当前期的污染损耗（由土壤、河流及大气等指数测得）， 为工业产值。 *