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27.3 参数方程 【知识网络】 1. 参数方程的概念. 2. 曲线的参数方程与普通方程的互化. 3. 利用曲线的参数方程解决有关问题. 【典型例题】 例1.（1）3．将参数方程为参数化为普通方程为 （C） A． B． C． D． 提示：将代入即可，但是. （2）参数方程为为参数表示的曲线是 （D） A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线 提示：表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线 （3）直线为参数和圆交于两点，则的中点坐 标为 （D） A． B． C． D． 提示：，得， 中点为 （4）直线为参数的斜率为______________________. 提示： （5）抛物线（为参数）在轴上截得的弦长为 . 提示：令，得. 当时，；当时，，∴抛物线与轴交于点. 例2.分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程： （1）为参数，为常数； （2）为参数，为常数； 解：（1）当时，，即； 当时， 而，即 （2）当时，，，即； 当时，，，即； 当时，得，即 得 即。 例3.求经过点倾斜角为的直线的参数方程. 解：设点为直线上的任意一点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线， 两直线相交于点.规定直线向上的方向为正方向. 当与同方向或重合时,因,由三角函数定义, 有; 当与反方向时, 同时改变符号,上式依然成立. 设,取为参数, ∵, ∴, 即, ∴直线的参数方程为. 例4.已知点是圆上的动点， （1）求的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围。 解：（1）设圆的参数方程为， ∵ ∴,即的取值范围为. （2） ∴, ∴实数的取值范围为. 【课内练习】 1.与参数方程为为参数等价的普通方程为 （D） A． B． C． D． 提示：而得 2.若曲线的参数方程为（为参数），则曲线上的点的轨迹是 （D） A．直线 B．以为端点的射线 C．圆 D．以和为端点的线段 提示：将曲线的参数方程化为普通方程得 3.曲线为参数与坐标轴的交点是 （B） A． B． C． D． 提示：令，得，此时， ∴曲线与轴的交点为； 令，得，此时， 曲线与轴的交点为. 4.直线为参数被圆所截得的弦长为 （C） A． B． C． D． 提示：，把直线代入 得 ，弦长为 5.直线为参数恒过定点_____________. 提示：将参数方程化为乭方程得，当且时，此方程对于任 何都成立，所以直线恒过定点. 6. 直线为参数被圆截得的弦长为______________. 提示：直线为，圆心到直线的距离， 弦长的一半为，得弦长为. 7. 已知曲线为参数，为正常数上的两点对应的参数分别为和，且，那么=_______________. 提示：参数方程表示的曲线为抛物线，线段垂直于抛物线的对称轴， ∴ 8. 选取适当参数，把直线方程化为参数方程. 解：选，则， 由此得直线的参数方程为. 也可选，则， 由此得直线的参数方程为. 可见，曲线的参数方程随参数选取的不同而不同，同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程. 9.已知弹道曲线的参数方程为. （1）求发射角时，弹道曲线的普通方程和射程； （2）设是定值，可以变动，求证：当时射程最大. 解：（1）发射角时，弹道曲线的参数方程为， 由，得， 代入并化简，得. 令，得或，可知射程为. ∴弹道曲线的普通方程为，射程为. （2）证明：由弹道曲线的参数方程消去， 得到它的普通方程为，由（1）知，射程为， ∵， ∴，∴当时射程最大，为. 10.在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值. 解：设