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函数的间断点 f (x, y)的不连续点叫间断点. 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点? 有洞曲面 有缝曲面 * 哈尔滨工程大学 高等数学 《微积分》下 课内学时: 104学时 学分: 6.5 答疑时间 每周日下午1：30—4：30； 在11号楼4054室 答疑地点： 准备练习本，错题本 按时上课,不迟到,不早退 几点要求： 上课时手机静音 通知：第二周，周二或周三，以班级为单位到 11号楼1楼书库购买 作业（4元/本），补充教材（ 2元/本）；必买 辅导教材（15元/本），任买. 作业先自己批改，不会的，有疑惑的标记上. 第八章 多元函数微分法 第一节 多元函数的基本概念 学习要点 理解多元函数的概念 了解二元函数的极限与连续性的概念 了解有界闭域上连续函数的性质 一、区域 点集 称为点P0 的去心邻域. 1. 邻域 说明： 2. 区域 内点、外点、边界点 显然, E 的内点必属于 E， E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 聚点 点集 E 的聚点 P? 可能属于E? 也可能不属于E? 例如? 点集E以及它的边界点都是E的聚点? 若开集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的 折线相连 ,则称 D 是连通开集，又称D为区域 或开区域； 开集、区域 若点集 E ??E , 则称 E 为闭集； 开区域连同它的边界一起称为闭区域. E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作?E ; 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 例2 例1 例3 对点集E , 若存在正数 K , 使一切点 P?E 与某定点A 的距离 ?AP?? K ,则称 E 为有界点集 ,否则称为无界点集. 即：若平面点集 E 能包含在一个圆内, 则称此点集有界, 否则称其无界. 有界点集、无界点集 3. n 维空间 二、多元函数的概念 类似地可定义三元及三元以上函数． 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念. 二元函数的定义 z=ax+by+c 二元函数的图形 z=ax+by+c表示一张平面. 举例? 方程x2+y2+z2?a2确定两个二元函数 点集{(x, y, z) | z = f (x, y), (x, y)?D} 称为二元函数 z ? f (x, y) 的图形. 二元函数的图形是一张曲面. 在 xOy 坐标面上的投影就是定义域 . 定义域的表示法 y=x (2) 2 1 1 . 三、二元函数的极限 注? 上述定义的极限也称为二重极限? 例2 求证 证 ※ 这是证明极限不存在的最常用方法 例3 证明下列极限不存在 [解] 例3-1 k不同时，极限值不同，因而原极限不存在. 例3-2 解 例3-3 例3-4 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似. 例4 例4 四、二元函数的连续性 例如,函数 在(0,0)处连续． 定理1 二元初等函数在其定义域内的(部分)区域或 闭区域上连续. 一般情况下连续二元函数的图形为一张没有洞 和裂痕的曲面. 一元连续函数和、差、积、商及复合函数 性质 可以平行地推广到多元函数 例5 解