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学思堂解析几何复习讲义 姓名： 时间： 课时效果： 一、直线与圆 【考题回放】 1．已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a等于（ D ） A．2　　　　B．1　　　　C．0　　　　D． 2．如果实数x、y满足条件 那么2x-y的最大值为（ B ） A． B． C． D． 3．圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（C） A．36 　　 B． 18 　　C． 　　 D． 4．若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围 . k((0，) 5．若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为　　　　　． 【热点透析】 直线与圆在高考中主要考查三类问题： 一、基本概念题和求在不同条件下的直线方程，基本概念重点考查： （1）与直线方程特征值（主要指斜率、截距）有关的问题； （2）直线的平行和垂直的条件； （3）与距离有关的问题等。 此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题形式出现； 二、直线与圆的位置关系综合性试题，此类题难度较大，一般以解答题形式出现； 三、线性规划问题，在高考中涉及，但难度不会大 突破重难点 【例】过点M(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x、y的正半轴于A、B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB方程。 解：设AB的方程为（a0,b0）∴、。 ∵⊥ ∴ ∵a0 0b5 ∵AB方程的一般式为bx+ay-ab=0 ∴M到AB的距离 ∴的面积 而的面积， ∵直线AB平分四边形的面积，∴， 可得 故所求AB方程为和。 【点晴】若命题中的直线与两坐标轴均有交点，应先考虑选用截距式方程是否有利。 【例】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为。求该圆的方程。 解：设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴距离分别为|b|，|a| 由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴所得的弦长为，故r2=2b2 又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1从而得2b2-a2=1 又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为，所以 即有a-2b=(1，由此有 解方程组得于是r2=2b2知 所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2 【例】已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程； （Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点. （i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围. （Ⅰ）法依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x. 法设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|， 所以|x+1|=.化简得：y2=4x. （Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为y=－（x－1）. 由消y得3x2－10x+3=0，解得x1=，x2=3. 所以A点坐标为（），B点坐标为（3，－2）， |AB|=x1+x2+2=. 假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2， 解得y=－.但y=－不符合①， 所以由①，②组成的方程组无解. 因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形. （ii）法：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由得y=2，即当点C（－1，2）时，A、B、C三点共线，故y≠2. 又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=+y2， |BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=. 当∠CAB为钝角时，cosA=0. 即|BC|2 |AC|2+|AB|2，即，即y时，∠CAB为钝角. 当|AC|2|BC|2+|AB|2，即，即y－时，∠CBA为钝角. 又|AB|2|AC|2+|BC|2，即， 即. 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角. 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是 . 法：以AB为直径的圆的方程为（x－）2+（y+）2=（）2. 圆心（）到直线l：x=－1的距离为， 所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－）. 当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，