九年级数学垂直弦的直径.ppt

问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究 　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 圆的对称性及特性 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. 用旋转的方法可以得到: 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合. 这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 ●O 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ · O A B C D E 活 动 二 （1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE 弧： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合， ， 分别与 、 重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B C D E AE＝BE， ， 即直径CD平分弦AB， 并且平分 　及 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗? 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: ●O A B C D 1.两条弦在圆心的同侧 ●O A B C D 2.两条弦在圆心的两侧 垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 垂径定理及逆定理 ●O A B C D M└ 条件 结论 命题 ①② ③④⑤ ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. 垂径定理的应用 例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ 老师提示: 注意闪烁的三角形的特点. 解得：R≈27．9（m） B O D A C R 解决求赵州桥拱半径的问题 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 即 R2=18.72+（R－7.2）2 ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. OA2=AD2+OD2 AB=37.4，CD=7.2， OD=OC－CD=R－7.2 在图中 例2：如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高． AB ⌒ AB ⌒ AB ⌒ 2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD . A C D B O E 1.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是= ， O A B P 24mm 注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法． 活 动 三 3．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． · O A B E 解： 答：⊙O的半径为5cm. 4．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D