§2 谓词公式语义解释.pptVIP

§2 谓词公式语义解释 个体变元，谓词，函数词和个体常元 需要逐层解决 一、P(Y)的解释域 P(Y)的解释域是一个四元组(U,?1,?2,?3)，其中： (1)U是非空集，称为论域。 (2)?1是C→U的函数。 (3)?2是P(Y)上的函数词集合到U上运算集的函数，使得?2(fni)=fni，这里fni是U上的n元运算。 (4)?3是P(Y)上的谓词集合到U上关系集的函数，使得?3(Rni)=Rni，这里Rni是U上的n元关系。 解释域(U, ?1,?2,?3)简记为U， 在给定解释域U后，P(Y)中只涉及闭项的原子公式就可视作为关于U上的命题。它不需要经过变元的指派就可以确定命题的真假值。 例：设P(Y)中的个体常元集C={c1,c2}，函数词集合T(1)=?，谓词集合R={R21} ，P(Y)的解释域现定义为：U={2，3}，?1(c1)=c1=2，?1(c2)=c2=3，?3 (R21)= R21，这里R21表示“小于”关系。 对于P(Y)中只含有闭项的原子公式p=R21(c1,c2)，在此解释域下，p解释为“2与3是小于关系”，是真命题。 若把解释域中关系的解释R21修改为“相等”关系，则p解释为“2与3是相等关系”，则是假命题。 有了解释域，就可以对只含有闭项的原子公式讨论其真假值，但由于对个体变元并没有赋值，因此一般的原子公式还是无法确定其真假值。 下面就必须考虑对个体变元的赋值 由于项与变元有密切联系:由变元集和常元集生成(自由T(1)-代数) 二、变元的指派和项解释 定理21.1:设U为P(Y)的一个解释域，?0为X→U的映射，则?0可唯一扩张为I→U的同态映射?，使得?(ci)=ci。这里ci为U中的元素 ?为I→U的同态映射，对任意的fni?Tn和t1,?,tn?I，有 ?(fni(t1,?,tn))= fni(?(t1),?,?(tn)), 这里fni为U中第i个n元运算。 定义21.9:X→U的映射?0称为个体变元的指派，I→U的同态映射?称为项解释。 例：P(Y)中的个体常元集C=?，函数词集合为{f11,f21,f22}，谓词集合R={R21}，P(Y)的解释域定义为：U={0,1,2,…,n,…}；?2(f11)=f11，使得f11(n)=n+1；?2(f21)=f21；使得f21(i,j)=i+j，这里i,j?U；?2(f22)=f22，使得f22(i,j)=i×j，i,j?U; ?3(R21)=R21，使得R21表示“相等”关系。 p=R21(f21(x1,x2),f22(x3,f11(x4)))， 变元指派为?0:X→U，使得?0(x1)=5, ?0(x2)=6, ?0(x3)=7,?0(x4)=8，则p解释为“5+6=7×(8+1)”， 是假命题。 把变元指派修改为?‘0:X→U,使得 ?0(x1)=6, ? 0(x2)=8,?0(x3)=7,?0(x4)=1， 则p就解释为“6+8=7×(1+1)”， 是真命题。 三、P(Y)的赋值 首先引进两个记号：对给定解释域U和项解释?的原子公式集Y记为YU,?,而谓词公式集P(Y)则相应记为P(YU,?). 定义21.10:谓词公式的赋值函数v:P(YU,?)→Z2分三步(a),(b)和(ck)，定义如下: (a)对于原子公式p=Rni(t1,…,tn)?YU,?定义： p=x3与q=?x x3是不同的 设Pk(YU,?)={p|p?P(YU,?),d(p)?k},于是P(YU,?)= v(p→q)=v(p)→v(q)=1+v(p)+v(p)v(q) v(?p)=v(p→F)=1+v(p)； v(p?q)=v(?p→q)=v(p)+v(q)+v(p)v(q) v(p?q)=v(?(?p??q))=v(p)v(q); v(p?q)=v((p→q)?(q→p)) =1+v(p)+v(q) v(?xp)=v(??x?p)=1+v(?x?p) 定义21.11:设p?P(Y)，若在解释域U和项解释?下，有v(p)=1，则称p在解释域U和?下取值为真。若在某解释域U下，对任一项解释?，p的取值总为真，则称p在解释域 U下是有效的。若对任一解释域U和任一项解释?，p都是有效的，则称p为有效式，也称为重言式。 四、语义推论 定义21.12:设A?P(Y)，p?P(Y)，v(A)={v(q)|q?A}，若不存在一个使得v(A)?{1}而v(p)=0的解释域和项解释，则称p是假设集A的后件，或称A语义蕴含p，记为A╞p，用Con(A)表示A的后件全体，即Con(A)={p?P(Y)|A╞p}。 若?╞p，则p就是重言式，简记为╞p。 A?Con(A) 例：证明：{?x(p(x)→q(x))}╞?xp(x)→?xq(x)