§4 场论初步.ppt

返回 后页 前页 §4 场论初步 在物理学中, 曲线积分和曲面积分有着广泛的应用. 物理学家为了既能形象地表达有关的物理量, 又能方便地使用数学工具进行逻辑表达和数据计算, 使用了一些特殊的术语和记号, 在此基础上产生了场论. 一、场的概念; 二、梯度场; 三、散度场; 四、旋度场; 五、管量场与有势场. 一、场的概念 若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或向量) 与之对应, 则称在 V 上给定了一个 数量场 (或向量场). 例如: 温度和密度都是数量场, M 的位置可由坐标确定. 因此给定了某个数量场就 总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每 重力和速度都是向量场. 在引进了直角坐标系后, 点 等于给定了一个数量函数 在以下讨论中 个向量场都与某个向量函数 相对应. 这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数, 并假定它们有一阶连续偏导数. 设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线 方向都与向量函数 在该点的方向一致, 即 磁力线等都是向量场线. 注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质. 则称曲线 L 为向量场 的向量场线. 例如电力线、 二、梯度场 在第十七章§3 中我们已经介绍了梯度的概念, 它 方向上的方向导数. grad u 是由数量场 u 派生出来的一个向量场, 称为 是由数量函数 所定义的向量函数 grad u 的方向就是使方向导 梯度场. 由前文知道, 数 达到最大值的方向, 就是在这个方 因为数量场 的等值面 的法线 方向为 所以 grad u 恒与 u 的等值面 正交. 当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作 引进符号向量 1. 若 u, v 是数量函数, 则 2. 若 u, v 是数量函数, 则 特别地有 梯度有以下一些用 表示的基本性质: 注 通常称为哈密顿(Hamilton)算符(或算子) , 读 作 “Nabla”. 4. 若 5. 若 则 这些公式读者可利用定义来直接验证. 3. 若 则 解 若以 上的单位向量, 则有 例1 设质量为 m 的质点位于原点, 质量为 1 的质点 位于 记 它表示两质点间的引力, 方向朝着原点, 大小与质量 的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比. 这说明了引力场是数量场 的梯度场, 因此常称 为引力势. 三、散 度 场 为 V 上的一个向量场. 称如下数量函数: 设 为 的散度. 这是由向量场 派生出来的一个数量 场, 也称散度场, 记作 高斯公式可写成如下向量形式: 设 为曲面 S 在各点的单位 法向量,记 , 称为 S 的面积元素向量. 于是 对上式中的三重积分应用中值定理, 使得 在 V 中任取一点 令 V 收缩到 这个等式可以看作是散度的另一种定义形式. 则同时有 对上式取极限, 得到 的不可压缩流体, 经过封闭曲面 S 的流量是 于是(2)式表明 是流量对体积 V 的变化率, 若 说明在每一单位时间内有一定数 散度的物理意义 联系本章§2中提到的, 流速为 并称它为 在点 的流量密度. 称这点为 “汇”. 容易由定义直接推得散度的以下一些基本性质: 量的流体流出这一点, 则称这一点 为 “源”. 若 说明流体在这一点 被吸收, 则 若在每一点都有 则称 为 “无源场”. 的散度也可表示为矢性算符 与 的数性积: 3. 若 是一数量函数, 则 算符 于是 1. 若 是向量函数, 则 2. 若 是数量函数, 是向量函数, 则 例2 求例1中引力场 所产生的散 度场. 解