2.6.1 矩阵秩的定义 §2.6 矩阵的秩.ppt

2.6.1 矩阵秩的定义 §2.6 矩阵的秩 定义1 在m×n矩阵A中,任取k行k列 （ 1≤ k≤min{m,n}）,位于这些行和列交叉处的k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式， 称为矩阵A的一个k阶子式。 定义2 如果矩阵A中有一个r 阶子式Dr≠0，且所有 r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么Dr 称为矩阵 A 的最高阶非零子式。数 r 称为矩阵 A 的秩,记作R(A)=r 。 对于m×n 矩阵A, 显然有 特别的，规定 R(O)=0. （1）R(AT)=R(A); （2）R(Am×n) ≤min{m,n} . m×n矩阵A 的k 阶子式共有 个。 设A为m×n矩阵，当R(A)= m时，称A为行满秩矩阵； 当R(A)= n时，称A为列满秩矩阵。 若A为n阶方阵，且R(A)= n，则称A为满秩矩阵。它既是行满秩矩阵，又是列满秩矩阵。显然，方阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵。 若A为n阶方阵，且R(A) n，则称A为降秩矩阵。由此 方阵A不可逆的充分必要条件是A为降秩矩阵。 非奇异矩阵又称为满秩矩阵，而奇异矩阵又称为降秩 矩阵。 例如 显然， A 为满秩矩阵，而 B 则为降秩矩阵。 例1 求下列矩阵的秩． 2.6.2 用初等变换求矩阵的秩 定理1 初等变换不改变矩阵的秩。 推论1 等价矩阵有相同的秩。 推论2 设A为m×n矩阵, P是m阶可逆矩阵, Q是n阶 可逆矩阵, 则R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ). 3.3 矩阵秩的求法 例2　设 求矩阵Ａ的秩． 例3 设 求矩阵A及矩阵B=（A | b）的秩。 用矩阵的秩给出齐次线性方程组Ａx=0有非零解的充分必要条件为R(A) n. 定理2 设A是 m×n 矩阵,则齐次线性方程组Ａx=0 有非零解的充分必要条件为R(A) n. 逆否命题 设A是 m×n 矩阵,则齐次线性方程组Ａx=0 只有零解的充分必要条件为R(A) =n. 推论1 若A为n 阶方阵, 则齐次线性方程组 Ａx=0 有非零解(只有零解)的充分必要条件为|A|=0 (|A| ≠ 0). 例4 设Am×n 、Bn×p，试证R(AB)≥R(A)+R(B)-n。 证明 设R(A)=r，则存在m、n阶的可逆矩阵P和Q， 使得 将矩阵分块为 其中，B1是r ×p 矩阵，B2是(n-r) ×p 矩阵。 由于 所以 注意B1是Q-1B去掉n-r行得到的矩阵，而矩阵每去掉一行 其秩减 1 或不变，因此 R(B1) ≥R(Q-1B)- (n- r) =R(B) - (n- r) . 从而 R(AB)≥ r +R(B)-n。 即 R(AB)≥ R(A)+R(B)-n。 显然，在上式中当AB=O时，有公式 R(A)+R(B) ? n. 例5 设A为n阶方阵( n ≥2)，A*是A的伴随矩阵，试证 1）当R(A)=n时，R(A*)=n; 2）当R(A)=n-1时，R(A*)=1; 3）当R(A)n-1时，R(A*)=0。 证明 1)当R(A)=n时,即A为满秩矩阵,所以| A*|=| A|n-1 ≠0,从而R(A*)=n。 2）当R(A)=n-1时，|A|=0，所以A A*= |A|E=O。由 R(A)+R(A*) ? n， 得R(A*) ? 1。又由R(A)=n-1知， A中至少有一个元素的 代数余子式不等于零，即A*是非零矩阵，从而R(A*) ≥ 1， 故R(A*)=1。 3）当R(A)n-1时， A的每一个n-1阶子式都为零，因 而A的所有元素的代数余子式均为零，即A*是零矩阵，故 R(A*)=0。