叶宏工程硕士第次5.6.ppt

应用概率统计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院 而 故 利用协方差的性质 思考：还有其他方法吗？ 5. 9 矩 — X 的 k 阶原点矩 — X 的 k 阶中心矩 — X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 — X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 P140.28 P140.30 第六章 极限定理 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象. * * 3. M=max( X,Y )及N=min( X,Y )的分布 设连续型随机变量X , Y 相互独立, X , Y的分布函数分别为 FX (x), FY (y), M = max{X ,Y }, N = min{X ,Y }, 求 M ,N 的分布函数. 问题 5.6 二维随机变量函数的分布 推广 设X1 ,…, Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 (i =0,1，…, n) M=max(X1,…,Xn)的分布函数为: … 特别，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有 N=min(X1,…,Xn)的分布函数是 FM(z)=[F(z)] n … FN(z)=1-[1-F(z)] n 若X1,…,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数. 注意 教材P122.7 解 (1) 串联的情况 因为有一个损坏时，系统 L就停止工作， 所以 L的寿命为 Z = min{X ,Y }, 故Z 的分布函数 于是，得Z的密度函数 (2) 并联的情况 因为当且仅当都损坏时，系统 L 才停止工作，所以L的寿命Z为 Z = max{X,Y} Z的分布函数 Z的密度函数 5.7 二维随机变量的期望与方差 5.7.1 期望 1. 期望定义 设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为 绝对收敛 , 则 若级数 2. Z = g(X ,Y )的数学期望 设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x ,y) 绝对收敛, 则 若广义积分 3. 数学期望的性质 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y). （诸 Xi 独立时） 5.7.2 方差 原公式 例 设二维 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 为 求E(X), E(Y), V(X), V(Y). 解 P131 法2 法1 5.8 协方差和相关系数 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是现在要讨论的 协方差和相关系数 称为 X ,Y 的协方差. 记为 1. 协方差和相关系数的概念 定义 若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称 为X ,Y 的 相关系数，记为 若 称 X ,Y 不相关. Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 . 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 例 设 ( X ,Y ) ~ N ( ?1,?12;?2,?22 ; ?), 求?XY 解 若 ( X ,Y ) ~ N ( ?1, ?12, ?2, ?22, ?), 则X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关 2. 协方差和相关系数的性质 (1) 存在常数a, b(a≠0)， 使P(Y=aX+b)=1， 即X和Y以概率1线性相关. X ,Y 相互独立 X , Y 不相关 X , Y 不相关 因为 若 ( X , Y ) 服从二维正态分布， X , Y 相互独立 X , Y 不相关 求cov(X,Y), V(5X- 3Y). 解 P131 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 设随机变量 X 的密度函数为 (1) E( X ), V( X ) (2) 求cov( X ,| X |), 问X 与| X |相关与否. (3) 问X 与| X | 是否独立？为什么？ 解 (1) P132 (2)