届高三数学大一轮复习简单三角恒等变换学案理新人教A版.doc

学案22　简单的三角恒等变换 导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换． 自主梳理 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________； (2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________； (3)tan 2α＝________________________ (α≠＋且α≠kπ＋)． 2．公式的逆向变换及有关变形 (1)sin αcos α＝____________________cos α＝； (2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝________________________. 自我检测 1．(2010·陕西)函数f(x)＝2sin xcos x是(　　) A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数 2．函数f(x)＝cos 2x－2sin x的最小值和最大值分别为(　　) A．－3,1B．－2,2 C．－3，D．－2， 3．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是(　　) A．－1B．－C. D．1 4．(2011·清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sin A·sin B(　　) A．有最大值，最小值0 B．有最小值，无最大值 C．既无最大值也无最小值 D．有最大值，无最小值 探究点一　三角函数式的化简 例1　求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值． 变式迁移1　(2011·泰安模拟)已知函数f(x)＝. (1)求f的值； (2)当x时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值． 探究点二　三角函数式的求值 例2　已知sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α(，)，求2sin2α＋tan α－－1的值． 变式迁移2　(1)已知α是第一象限角，且cos α＝，求的值． (2)已知cos(α＋)＝，≤α，求cos(2α＋)的值． 探究点三　三角恒等式的证明 例3　(2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f(x)的解析表达式； (3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域． 变式迁移3　求证： ＝. 转化与化归思想的应用 例　(12分)(2010·江西)已知函数f(x)＝ sin2x＋msinsin. (1)当m＝0时，求f(x)在区间上的取值范围； (2)当tan α＝2时，f(α)＝，求m的值． 【答题模板】 解　(1)当m＝0时，f(x)＝sin2x ＝sin2x＋sin xcos x＝ ＝，[3分] 由已知x，得2x－，[4分] 所以sin，[5分] 从而得f(x)的值域为.[6分] (2)f(x)＝sin2x＋sin xcos x－cos 2x ＝＋sin 2x－cos 2x ＝[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋，[8分] 由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝， cos 2α＝＝＝－.[10分] 所以＝＋，[11分] 解得m＝－2.[12分] 【突破思维障碍】 三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等． 1．求值中主要有三类求值问题： (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解． (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角． 2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则： (1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等． (2)常用的拆角、拼角