不等式求解的方法归纳.docVIP

一、不等式基本知识 1、基本性质 性质一：（对称性） 性质二：（传递性） 性质三： 性质四： 运算性质 （加法法则）；（乘法法则） （乘方法则）；（开方法则） 常用不等式 （2） 取等号条件：一正、二定、三相等 （4）若 （5）() 二、不等式的证明方法 常用的方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、反证法、类比法、放缩法、换元法、判别式法、导数法、几何法、构造函数、数轴穿针法等。 比较法 例1、若求证：。 证明：，。 分析法 例2已知都是正实数，且求证：。 解：都是正实数，要证，只要证，即证，也就是，即而由，知成立，原式得证。 综合法（先用分析法分析寻找思路，再正面求证） 例3、设均为正数，且，求证：。 证明：均为正数，，，，以上三式相加得。 例4、设,且，求证： 证明： ，，上述不等式中不能取等号，成立。 式中乘了个1构成不等式. 数学归纳法 例5、设，且求证 证明：（1）当时，，不等式成立 （2）假设当时，不等式成立，即，那么当时，，由归纳假设可得 ，即时，不等式也成立，综合以上所述，对于任意，且都成立。 反证法 例6、已知都是小于1的正数，求证：中至少有一个不大于。 证明：假设三个式子都大于，都是小于1的正数，，从而，但是与上式矛盾，故假设不成立，原命题成立。 类比法 例7、已知函数的图像与轴有两个不同的交点，若，且时，当时，求证：。 证明：直接证明很困难，题中说到函数的性质，那么就要构造成类似的形式，即类比函数，要证，即证， 且，，而，命题得证。 放缩法 常用放缩公式：①；②；③；④；⑤个正数，有，当且仅当时等号成立； ⑥；⑦； ⑧二项式定理展开式；⑨ 例8、已知正项数列满足，且，（1）求证：（2） 证明：（1） ， ， 命题得证。 换元法 常用的换元方法①若可设。 ②若，可设。 ③对于，可设，或。 ④对于，可设或。 ⑤对于，可设或。 ⑥若，可设 例9、已知，求证：。 证明：设，其中，原式可转化为 ， 原式，原不等式成立。 判别式法 例10、求证：。 证明：设，则，定义域为R 时，是定义域中的一个值，是值域中的一个值。 时，由，得。 综上所述成立。 推论：判别式法证明对形如具有一般性。 导数法（单调性） 例11、已知各项均为正数的数列的前项和满足，且, 求的通项公式；（2）设数列满足并记为的前项和，求证：，。 解：（1），由已知，又 ，得（舍去） 是公差为3，首项为2的等差数列，故通项公式为。 由解得， ，，令，则， 因，特别的，。 构造函数法 例12、对于函数，若存在使成立，则称为的不动点，如果函数有且仅有两个不动点0,2，且， 试求函数的单调区间。 已知各项不为零的数列满足，求证：。 设为数列的前项和，求证：。 解：（1）令，由已知0,2时方程的两根，， ，，令得或，令，得或， 增区间为和 ，减区间为和。 ， 两式做差得，数列是以-1为公差，-1为首项的等差数列，，要证原式，即证，令，函数，，递减， 同理可证。 由（2）得， ，， 。 数轴穿针法（注意奇次幂穿过，偶此幂不穿过，从最大值且从数轴上方开始穿，每过一个值都要穿过，而且也要相应的变换在数轴的上下方） 例13、求解不等式 解：原不等式等价于，根分别为在数轴上标出这些值，考虑到4对应的为偶次幂，所以不穿过。其结果如图 -7 -6 4 8 9 在数轴上方的为大于0的解，下方的为小于0的解，因此不等式的解为或 三、含绝对值不等式的解法 分类讨论法 例1、求的解集。 解：①当时，有或此时原式即为解得或，与或求交集得解或。 ②当时，有，原式即为，解得，与求交集得。 综上①②所述，原不等式解集为或。 两边平方法（承接例1） ①当时，原不等式可化为分解因式得，所以或或，故或。②当时，原不等式恒成立。 综合①②可得解集为或。 图像法（承接例1） 令分别在坐标轴上画出两者的图像，解方程可得从图像可得不等式的解为或， y=