届高三数学大一轮复习函数单调性与最值学案理新人教A版.doc

学案5　函数的单调性与最值 导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值． 自主梳理 1．单调性 (1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2))，那么就说f(x)在区间D上是______________． (2)单调性的定义的等价形式：设x1，x2[a，b]，那么(x1－x2)(f(x1)－f(x2))00?f(x)在[a，b]上是________；(x1－x2)(f(x1)－f(x2))00?f(x)在[a，b]上是________． (3)单调区间：如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的__________． (4)函数y＝x＋(a0)在 (－∞，－)，(，＋∞)上是单调________；在(－，0)，(0，)上是单调______________；函数y＝x＋(a0)在______________上单调递增． 2．最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；存在x0I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的____________． 自我检测 1．(2011·杭州模拟)若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是(　　) A．增函数B．减函数 C．先增后减D．先减后增 2．设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有(　　) A．f(a)f(2a)B．f(a2)f(a) C．f(a2＋a)f(a)D．f(a2＋1)f(a) 3．下列函数在(0,1)上是增函数的是(　　) A．y＝1－2xB．y＝ C．y＝－x2＋2xD．y＝5 4．(2011·合肥月考)设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　) A．f(x1)f(x2)B．f(x1)f(x2) C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定 5．当x[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为(　　) A．[c,55＋c]B．[－＋c，c] C．[－＋c,55＋c]D．[c,20＋c] 探究点一　函数单调性的判定及证明 例1　设函数f(x)＝(ab0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性． 变式迁移1　已知f(x)是定义在R上的增函数，对xR有f(x)0，且f(5)＝1，设F(x)＝f(x)＋，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论． 探究点二　函数的单调性与最值 例2　(2011·烟台模拟)已知函数f(x)＝，x[1，＋∞)． (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x[1，＋∞)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围． 变式迁移2　已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 探究点三　抽象函数的单调性 例3　(2011·厦门模拟)已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－. (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值． 变式迁移3　已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0. (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性； (3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)－2. 分类讨论及数形结合思想 例　(12分)求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值． 【答题模板】 解　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. 当a0时，由图可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[3分] (2)当0≤a1时，由图可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[6分] (3)当1a≤2时，由图可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.[9分] (4)当a2时，由图可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1. 综上，(1)当a0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a； (2)当0≤a1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a； (3)当1a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1； (4)当a2时，f(x)min