[数学]概率论与数理统计书.ppt

* （2）二项分布： X 0 1 2 … n pk qn pqn–1 p2qn –2 … pn * （3）泊松分布： （4）超几何分布 * 例2、有 5 个相互独立工作的电子装置，它们 的寿命 Xk （k＝1，2，3，4，5）都服从参数 为 λ 的指数分布，即其概率密度为： 若将这 5 个电子装置串联工作组成整机，求 整机寿命Z 的数学期望。 * 解：由于整机是由 5 个电子装置串联而成，若 5 个装置中有一个损坏时，整机就停止工作。 所以，整机的寿命 Z＝min｛X1，X2，…Xn｝。 而Xi 的分布函数为： * 而 Z 的概率密度为： 于是，Z 的数学期望为： * 几个常见的连续型随机变量的数学期望 （5）均匀分布 * （6）指数分布 （7）正态分布 * 数学期望的性质： （1） EC＝C，(C为常数) （2） E(CX)＝CEX ，(C为常数) （3） E(X+Y)＝EX＋EY E(aX+b)＝aEX＋b， E( )＝ （4）若X、Y是相互独立的随机变量，则 E(X·Y)＝EX·EY 。 * 4.1.3 随机变量函数的数学期望 定理4.1：设 Y 是随机变量 X 的函数，即 （g 是连续函数）（1）若 X 是离散 型随机变量，其分布律为 而级数 绝对收敛，则有 * （2）若 X 是连续型随机变量，其密度函数 为 。若积分 绝对收 敛，则有 * 求E（X2） 。 例3：已知 X 的分布列为: X -2 -1 0 1 3 pk 解：令Y＝X2，则 这里不需要先求 注意 * 对二维随机变量（X，Y）的函数，即 Z＝g（X，Y） 定理4.2：设 Z 是二维随机变量（X，Y）的函 数，即 Z＝g（X，Y） （1）若（X，Y）是二维离散型随机变量，有 * （2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有 * 解： 例4：设随机变量（X，Y）服从二维正态分 求 的数学期望。 布，其密度为 * 例5证明 * §4.2 随机变量的方差 4.2.1 方差的定义 对随机变量的特征进行考察，除了数学期望 外，还要考察 X 的可取值与 EX 的偏离情况， 由于X－EX可正可负，因此用 [X－EX]2 来考 虑。 (与平均值的偏离程度） * 定义4.3：设 X 是一个随机变量，若 的数学期望存在，则称 E [X－EX]2 为X的方 差，记为DX或Var（X）。 即 显然，对离散型随机变量，有 * 对连续型随机变量，有 定义中的 DX 还可写成 4.2.2 几种常见的随机变量的方差 （1）0-1分布： * （2）二项分布： （3）泊松分布： （4）均匀分布： * 相互独立的两个充要条件： 定理3.4：设（X，Y）是二维离散型随机变 量，则： * 定理3.5：设（X，Y）是二维连续型随机变 量，则： 例1、已知随机变量 X 和 Y 的分布律为 ： * 而且 （1）求 X 和 Y 的联合分布律； （2）问 X 和 Y 是否独立？ 解：（1）由于 ，所以 即 所以，X 和 Y 的联合分布律有如下形式 * 即 －1 0 1 p· j 0 0 1 0 0 pi · Y X 因此，X、Y 不独立。 （2）由分布律可见： 而 * 例2、一电子仪器由两部分构成，以 X 和Y 分 别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知 X 和 Y 的联合分布函数为 （1）问 X 和 Y 是否独立； （2）求两部件的寿命都超过100小时的概率。 *