四节 条件概率—概率论与数理统计(李长青).pptVIP

* 第四节 条件概率 1、条件概率的定义 例1 抛掷一枚均匀的硬币三次, 以 B 表示事件“第 一次抛掷出现正面”, A 表示事件“正面出现的次数多于 反面出现的次数”, 求条件概率 解 以 H 表示掷出正面, T 表示掷出反面, 则试验的 样本空间为 而事件 由于事件 B 已经发生, 所以此时仅有4种结果, 而 A 显然 这是因为已知事件 B 已经发生, 样本空间已由原来 的Ω缩减为 所包含的样本点中有3个同时也属于 B, 所以有 另外 所以有 因此有 容易验证对一般的古典概型, 只要 上述等式 总是成立的. 在几何概率的情形(以二维平面区域为例), 上式依然 成立. 如果向一个矩形内随机地 这时 A 发生的概率为 投点(如下图)若已知 B 已发生, 定义 设 A, B 是同一随机试验的两个事件, 且 称 为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率. P(A|B) 符合概率定义的三条公理，即 （1）非负性： （2）规范性： （3）可加性： 其中 为两两互不相容事件 注意：条件概率满足概率的一切性质 例2 设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30 年内发生特大洪水的概率为80%, 在40年内发生特大洪 水的概率为85%, 问现已无特大洪水过去了30年的该地 区, 在未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？ 解 设 B = “该地区从某次特大洪水发生后30年内无特大洪水” A = “该地区从某次特大洪水发生后40年内无特大洪水” 则所求概率为 由于 算公式, 有 由条件概率的计 再由条件概率的性质, 可得 例3 设 M 件产品中有 m 件为正品, M–m 件为次品, 从中任取两件: (1) 在所取产品中有一件为次品的条件下, 求另一件 也是次品的概率; (2) 在所取产品中有一件为正品的条件下, 求另一件 是次品的概率. 解 (1) 设 B = “所取的两件产品中至少有一件为次品” A = “所取的两件均为次品” 则所求的概率为 显然 所以有 (2) 设 C = “所取的两件产品中至少有一件是正品” D = “所取的两件产品中一件为正品, 一件为次品” 则所求概率为 因为 所以有 二、乘法公式 设P(A)0,则有 乘法定理可推广至任意有限个事件的情形: 同样,当P(B)0时,有： 例4 10个人依次抓阄, 10张阄中只有一张写有“奖品 A”, 求它被第 k 个人抓到的概率 (k = 1, 2, …, 10). 解 设 Ak = “第 k 个人抓到了写有“奖品A”的阄” k = 1, 2, …, 10 “奖品A”被第一个人抓到的概率为 因为只有一个阄写有“奖品A”, 所以, 从而 于是 同理, 因为 所以, “奖品A”被第三个人抓 到的概率为 如此继续下去, 依次可得 最后, 注意到 及 “奖品A”被第10个人抓到的概率为 最后, 注意到 及 “奖品A”被第10个人抓到的概率为 三、全概率公式 定理1.2 设 是样本空间Ω的一个完备 事件组, 且 则对于任意事件 B, 有 注 全概率公式中完备事件组所包含的事件可以是 无限多个, 若 是一两两互不相容的事件 序列, 且 及 则对于任意事件B, 有 例5 设甲箱内有5个正品, 3个次品, 乙箱内有4个正 品, 3个次品. 从甲箱内任取3个产品放入乙箱, 然后从乙 箱中任取一个产品, 求这个产品是正品的概率. 解 设 B = “从乙箱中取得的是正品” Ai = “从甲箱取的3个产品中有 i 个是正品” (i = 0, 1, 2, 3) (i = 0, 1, 2, 3) 构成完备事件组, 根据古典概型的概 率计算公式有 由全概率公式可得 例6 播种用的一等种子中混合2%的二等种子, 1.5% 的三等种子, 1%的四等种子. 用一等、二等、三等、四 等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别是0.5, 0.15, 0.1, 0.05, 求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率. 解 设从这批种子中任选一颗, 记 Ai = “任选的一颗种子是 i 等种子” (i = 1, 2, 3 , 4 ) B 表示事件 “在这批种子中任选一颗, 且这颗种子所 结