高等数学第四章不定积分（电子讲稿）.doc

PAGE 166 PAGE 165 第四章 不定积分 一般来说，在数学中一种运算的出现都伴随着它的逆运算.在第二章中，我们学习了导数与微分，导数与微分运算是否有逆运算？即已知函数的导数或微分，能否求出？这是我们这一章要讨论的问题. 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 如果在区间上，可导函数的导数为，即对任意，都有 或 ， 则称为在区间上的原函数. 例如，因为，所以是的一个原函数；，，所以是在区间内的一个原函数. 由此可见，微分学的逆问题是：已知导函数，求原函数. 事实上，研究原函数需要解决下面两个问题： (1)满足何种条件的函数存在原函数？(2)如果原函数存在，它是否唯一？ 关于第一个问题，我们用原函数存在定理回答. (原函数存在定理） 如果函数在区间上连续，则在区间上一定有原函数，即存在区间上的可导函数，使得对任一，有. 将在第五章给出此定理的证明.这个定理简单地说就是：连续函数一定有原函数. 关于第二个问题的答案是如果原函数存在则不唯一. 设是函数的一个原函数，即,则，其中是任意常数.这就是说，原函数存在的话，则有无穷多个. 不妨假设与是函数的任意两个原函数, 则有 ，. 从而有，即. 因此，的任意两个原函数之间只相差一个常数.换句话说的原函数的全体可表示为,其中为任意常数.据此，我们给出下述定义. 在区间上，的带有任意常数项的原函数，称为在区间上的不定积分，记作.其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量. 由不定积分的定义，如果为的一个原函数，则 （为任意常数）. ●●例1 因为 ，所以. ●●例2 因为当时，；当时，，所以，因此有. ●●例3 设曲线过点，且其上任一点处的斜率等于该点横坐标的倒数，求此曲线 的方程. 解 设所求曲线方程为，其上任一点处切线的斜率为，从而 , 由，得，因此所求曲线方程为. 在直角坐标系中，的任意一个原函数的图形我们称为的一条积分曲线，不定积分在几何上表示一簇积分曲线，这些积分曲线可由某一条积分曲线沿轴方向平移得到，它们在横坐标相同点处的切线有相同的斜率，因而切线相互平行. ●●例4 一物体由静止开始作直线运动,秒末的速度是（m /s）,问：(1)在3s末,物体与出发点之间的距离是多少？(2)物体走完216m需多少时间？ 解 设物体的位置函数为，则，即，从而=，由，得，于是有. 当时,物体与出发点之间的距离(m)； 当时，(s). 由原函数与不定积分的概念可得： 或 ； 或 . 由此可见，微分运算与不定积分运算互为逆运算，对函数先积分再微分，作用互相抵消；对函数先微分再积分，其结果只差一个常数. 二、基本积分表 因为不定积分运算是导数运算的逆运算，所以不难从导数公式得到相应的积分公式．现将一些基本积分公式罗列如下，通常称之为基本积分公式表. (1) (为常数), (2) (), (3) , (4) , (5) , (6) , (7) , (8) , (9) , (10), (11) , (12), (13) , (14), (15) . 以上公式可以联系求导公式记忆，且要求能够灵活运用. 三、不定积分的性质 根据不定积分的定义，可以得到下列性质. 性质1 设函数及的原函数存在，则 . 证 因为， =. 由不定积分及原函数的定义，性质1得证. 性质1可以推广到有限个函数的情形. 性质2 设函数的原函数存在，为非零常数，则. 证 与性质1的证明类似，从略. 利用基本积分表和不定积分的两个性质，通过对被积函数作恒等变形，可以求出一些简单的不定积分，这种求积分的方法通常叫直接积分法. ●●例5 求. 解 =. ●●例6 求. 解 . 检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的. ●●例7 求. 解 . ●●例8 求. 解 . ●●例9 求. 解 . ●●例10 求. 解 . ●●例11 求. 解 . ●●例12 设 求. 解 因为当时，，即当时，，此时. 又因为的原函数在上每一点都连续，所以 从而有，即.记，则 由例12可知，当被积函数是一个分段连续函数时，它的原函数必定为连续函数，可以先分别求出各区间段上的不定积分，再由原函数的连续性确定各积分常数之间的关系，注意不定积分中只含有一个任意的常数. 习 题 4-1 1.求下列不定积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10). 2.设某曲线上任意点处的切线