高等数学第二章导数与微分（电子讲稿）.doc

PAGE 94 PAGE 94 PAGE 95 - PAGE 1 - 第二章 导数与微分 微积分学包含微分学和积分学两个分支，微分学又分一元函数微分学和多元函数微分学两部分，本章讨论一元函数微分学，多元函数微分学将在第七章中讨论． 一元函数微分学中最基本的概念是导数，导数表示函数相对于自变量的变化快慢程度，即因变量关于自变量的变化率．微分学的另一个基本概念是微分，它与导数概念紧密相关，表示当自变量有微小变化时，函数改变量是多少．在本章，我们主要讨论导数与微分的概念以及它们的计算方法．至于导数的应用，将在第三章讨论． 第一节 导数概念 一、引例 为了引入导数的定义，我们先讨论两个问题：速度问题与切线问题，这两个问题在历史上都与导数概念的形成有密切的关系． 1．变速直线运动的瞬时速度 设一物体作变速直线运动．已知其运动的路程与时间的函数关系为，问题是怎样来求物体在时刻的速度，即所谓瞬时速度． 如果物体是匀速直线运动，则函数是一个线性函数，随是均匀变化的，即时间从任一时刻开始，只要物体运动的时间为相同，则相应的运动路程也就相同．我们用 （1） 来计算运动的速度，它是一个常量，即匀速直线运动的物体在任何时刻，其速度都是相同的． 对于变速直线运动，是非线性函数，随的变化是非均匀的，即在相同的时间内运动的路程不同．由于物体在不同时刻运动的速度不尽相同，为了计算时刻的速度，考察时刻到与它邻近的时刻这段时间内运动的路程，记 ，， 则 (2) 或 (3) 仅表示物体在这段时间内运动的平均速度，它还不是物体在时刻的速度．若路程随时间的变化是连续不断的，则当很小时，速度的变化也很小，可以近似地看成是不变的，因此可作为时刻速度的近似值，即．越小，上面的表达式就越精确．如果令（即），若平均速度的极限存在，则这个极限值就定义为时刻的瞬时速度，即 ． （4） 瞬时速度也称为路程或位移函数对时间的瞬时变化率． 2．平面曲线的切线斜率 设曲线的方程为，为连续函数，是上的一点，讨论曲线过点的切线斜率． 在上另取一点，则割线的斜率为 ． 若令，，则割线的斜率还可以表示为 ， （5） 如图21．当时，点沿曲线移动到，割线就成为切线，的极限值就是曲线在点处的切线的斜率，即 ． （6） 二、导数的定义 1．函数在一点的导数与导函数 上述两例，一个是物理方面的问题，一个是几何方面的问题，虽然问题的实际意义不同，但都归结为求当自变量的增量（或）时因变量的增量（或）与自变量增量之比的极限问题．在自然科学和工程技术领域中，甚至在社会科学中，许多实际问题的解决都归结为求（4）式和（6）式相同形式的极限问题，我们舍弃不同问题的实际意义，从数量关系的共性出发，抽象出如下的定义． 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量，如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 ． （7） 也可记作或． 函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在．如果极限（7）不存在，那么称在点处不可导．如果不可导的原因是由于时，，那么为方便起见，也往往称函数在点处的导数为无穷大，并记作． 导数的定义式（7）也可有如下形式： ． （8） 上面讲的是函数在一点处可导，如果函数在开区间内每一点处都可导，就称在开区间内可导．这时，对于任意的，都对应着的一个确定的导数值．这样就构成了一个新函数，这个函数叫做原来函数的导函数，记作 ． 在（7）式中，把 换成，即得导函数的定义 ． 值得注意，在上式中虽然可以取内任何数值，但在取极限过程中，是常量，是变量，导函数简称导数. 显然，可导函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即 ． 2.求导数举例 下面根据导数定义求一些简单函数的导数． ●●例1 求函数（为常数）的导数． 解 即 ． 这就是说，常数的导数等于零． ●●例2 求函数（n为正整数）的导数． 解 即 更一般地，对于幂函数（为常数），有 这就是幂函数的导数公式，这个公式的证明将在以后讨论，利用这个公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如，当的导数为 ，即； 当的导数为