北京北京大学量子力学课件第26讲.ppt

第 二 十 六 讲 Ⅰ. 全同粒子的交换不变性的后果 (1) 两全同粒子的波函数 若两全同粒子，它们的相互作用是变量可 分离型的，即 可以证明：若粒子自旋为 ，则 在 两粒子自旋交换时的对称性为 。若两 粒子都处于 态，而总角动量为 ，其交 换对称性为 ，则 应满足 偶 (2) 由于全同粒子交换不变性，而使体系可 能处的状态数目不同. 例：设有三个粒子处于（不同量子数单态） A. 玻色子 3个处 2个处 各处 同一态 同一态 一个态 B. 费米子 1 各处一个态 (3) 由于全同粒子交换不变性，而使体系的 几率分布不一样。 (4) 由于全同粒子交换不变性，在散射时， 散射截面不一样。 当两粒子散射时，粒子 散射到①处，即偏 转角 的散射几率为 ；粒子 1 如散 射到②处，其偏转角为 ，散射几率为 A. 玻色子（自旋为0） 散射几率为 （即 ②， ①分不出。由于， , 为偶） 如自旋为1，非极化散射几率为 °自旋 ， 自旋 自旋 (5) 由于全同粒子交换不变性，使体系所处 的状态结构也不同 元素周期表的规律正是由于电子为费米子, Pauli exclusion Principle 起作用的结果。 例：粒子处于一维谐振子势中。单粒子波 函数 相应能量为 对 个玻色子（ ），基态是所有粒 子都处于 态 , 每个粒子平均能量为 B. 费米子（自旋 ） 自旋为 的费米子非极化的散射几率 但对 个无相互作用的费米子（ ）。基态是二个处于 , 二个处于 … , N为偶 N为奇 所以，每个粒子平均能量为 Ⅱ.定态微扰论 这里讨论的是 与 无关 设： ，要求其本征值和本征函数 其中 很接近 ，且有解析解。而 是小量， 为易于表达其大小的量级 （1）非简并能级的微扰论 设： 的本征值和本征函数为 ， 构成一正交，归一完备组。 现求解 即 求 ， 的步骤是通过逐级逼近来求 精确解，即将 ， 对 展开（即对 矩阵元展开）。 从 ， 出发求 ， 。当 ， 即 ， ， 非简并微扰论就是处理的那一条能级是非简 并的（或即使有简并，但相应的简并态并不影响 处理的结果）。 A. 一级微扰近似 以 标积 以 （ ）标积 因此，在一级近似下 (归一化 准至一级) 所以，在 这条能级为非简并时，其能 量的一级修正恰等于微扰项 在无微扰状态 的平均值。 例1：考虑一个粒子在位势 准至一级修正的能量为 从这可以看到微扰论的应用限度。 如 准到一级，可以看出， 完全是分立 能级。但事实上，当 时，粒子是自由的。因此，能级是连续的，可 取任何值。所以，要一级修正比较精确，则必须 即 经典和量子的差别: 经典粒子不能运动到 区域中去。而在量子力学中，粒子有一定几率在 区域中。在这区域中，有 所以粒子受到的排斥力比处于 纯谐振子势中的粒子小。以至于， 事实上，由于