第五讲.梁弯曲时位移2.ppt

§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 由于：1）小变形，轴向位移可忽略； 简单载荷下梁的挠度和转角见表7-1（p155） 因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。 2）线弹性范围工作。 西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室 例：利用叠加原理求图a所示弯曲刚度为EI的简支 梁的跨中挠度wC和两端截面的转角?A，?B。 解：可将原荷载看成为图b所示关于跨中C截面的正 对称和反对称荷载的叠加。 q B A C x y l/2 l (a) (b) + A l/2 C B l/2 q/2 q/2 l A C B q/2 1）对正对称荷载，跨中截面C的挠度和两端的转角分别为： 2）对反对称荷载，跨中截面C的挠度等于零，并可分别将AC段和CB段看成为l/2简支梁，即有： 将相应的位移进行叠加，即得： （向下） （顺时针） （逆时针） 例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端B截面的挠度和转角。 解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。 F l l l EI F A B C D q B 1 F q C 1 w C 1 w C 1 q C 1 ? 2 l 直线 w B 1 (a) q D 1 q B 2 w D 1 · F q D 1 BD 直线 w D 1 w B 2 (b) ? 对图a，可得C截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为： （向下） （顺时针） q B 1 F q C 1 w C 1 w C 1 q C 1 ? 2 l 直线 w B 1 (a) 对图b，可得D截面的挠度和转角为： 同理可得此时B截面的挠度和转角为： （向下） （顺时针） q D 1 q B 2 w D 1 · F q D 1 BD 直线 w D 1 w B 2 (b) ? 将相应的位移进行叠加，即得： （向下） （顺时针） 例：由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面 的挠度和转角以及D截面的挠度。 解：可将外伸梁看成是图a和b所示的简支梁和悬臂 梁的叠加。 B C (b) F=qa A EI D B qa qa2/2 (a) A C a a a F=qa B D EI （1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。 + A F=qa (c) qa2/2 (d) 图c中D截面的挠度和B截面的转角为： 图d中D截面的挠度和B截面的转角为： 将相应的位移进行叠加，即得： （向下） （顺时针） （2）对图b，C截面的挠度和转角分别为： 所以： 原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即： （向下） （顺时针） A C a a a F=qa B D EI qB qCq qB × a wCq 例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰 接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度，其中：F=2qa。 解：可在铰接点处将梁分成图a和b所示两部分，并可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为： q A EI EI F B C a /2 D a a F/ 2 w B 直线 B w DF w /2 + F/ 2 w B q B C A F (a) B C q (b) F/ 2 B C 图a和b中分别给出了两部分的变形情况。 (c) 并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。 （1）对图b，可得其B截面的挠度和转角为： 进行相应的叠加可得： （向下） （逆时针） （2）图a可看成为右支座有一定竖直位移（位移量为wB）的简支梁，此时D截面的挠度为： （向下） F/ 2 w B 直线 B w DF w /2 A F (a) 例：用叠加原理求图示变刚度梁C截面的挠度。 解：将DE段取出，看成为支座有一定向下位移的简支梁，剪力FSD，FSE看成支座反力，弯矩MD，ME看成荷载，如图a所示，图中给出了其变形情况。 A B F EI →∞ EI →∞ EI C l /4 l /4 l /4 l /4 D E C q D w D E F S D F S E M D M E F (a) 其中：