第五章.比率估计与回归估计.ppt

* 解答过程（2） （2） 联合比率估计 * 解答过程（3） （3） 分别回归估计 * 解答过程（4） (4) 联合回归估计 以上结果表明不论是比率估计还是回归估计，总有分别估计量优于联合估计量；不论是分别估计量还是联合估计量，总有回归估计优于比率估计。 * 编号为奇数的习题答案 5.1 ＝2000, ＝36, 1－ ＝0.95, t＝1.96, ＝0.018， 0.000015359， ＝0.00392 置信区间为 。 5.3当 时用第一种方法，当 时用第二种 方法，当 时两种方法都可使用。这是因为： ， ， 若 则 0 ＜ ﹥0 * 5.5?证明：由（5.6）得： 5.7解：? 故估计量 虽然与 一样都是 的无偏估计，但方差不小于 的方差，当 时 ，故 不优于 。 第五章 比率估计与回归估计 * 本章要点 本章讨论了简单随机抽样和分层随机抽样下比率估计量和回归估计量的构造及性质。要求： ①掌握总体比率、比率估计量及回归估计量的概念。 ②了解比率估计量、回归估计量的偏倚、方差及方差的估计量。 ③掌握应用比率估计量及回归估计量的条件。 * 第一节 问题的提出 在许多实际问题中常常涉及两个调查变量（指标）Y 和X 。对于包含个抽样单元的总体除了对总体信息进行估计外，常常要估计总体比率R。总体比率在形式上总是表现为两个变量总值或均值之比。 在涉及两个变量的抽样调查中，有两种情况需要应用比率估计量。一种情况是利用双变量样本对总体比率进行估计需应用比率估计量，此时两个变量均为调查变量。另一种情况是一个变量为调查变量，另一个变量表现为与调查变量有密切关系的辅助变量，在对调查变量总体总值、总体均值等目标量进行估计时，利用已知的辅助变量信息构造比率估计量可以改进估计的精度。 基于这种考虑利用已知的辅助变量信息构造比率估计量就可使估计精度加以改进。 * 第二节 比率估计 一、比率估计量 设对有两个调查变量Y 和X 的总体进行简单随机抽样 ，分别以y，x表示样本总值 ，以 表示样本均值，以 为样本比率 ，用 作为总体比率R的估计称为的比率估计 。 比率估计量除了使用调查变量样本信息外，还要使用辅助变量总体信息与样本信息，而且是非线性估计量。这类估计量称为复杂估计量。由于比率估计量使用的信息比简单估计量多，因而有可能比简单估计量有更高的精度。同时由于比率估计量是非线性估计量，因而对其性质的研究比对简单估计量要复杂得多。 * 二、比率估计量的偏倚与均方误差 比率估计量是有偏估计量，但当样本量增大时其偏倚将趋于零 。 理论上可以证明， 分别为 的近似无偏估计量,而且对于比率估计量，其方差主要取决于 与 之间的差异，当 时，估计量方差将很小。换言之，比率估计量将有很高的精度。这告诉我们，只有当两个变量大致成正比例关系时，应用比率 估计量才能使估计精度有较大改进。 * 三、 比率估计量方差的估计与置信区间 对于一般的n，比率估计量呈右偏分布，只有当n＞30, ＜0.1, ＜0.1这些条件同时满足时才能直接用正态分布构造置信区间。R的置信区间为 [ ] 其中 是标准正态分布的上α/2分位点，0＜α＜1。类似可得 、Y的置信区间。 * 案例一 * 解 答过程 * 案例二