学习常微分方程组本理论.ppt

4.3 线性微分方程组的基本理论 非齐次线性微分方程组 先考虑对应的齐次线性微分方程组 解的结构问题. 一、线性齐次方程组解的结构 证明: Th4.5 设 是齐次线性方程组的解, 则它们的线性组合 也是齐解。 是齐次线性方程组的解. 线性相关及线性无关 则称此组函数向量在 上线性相关, 否则称为线性无关. 有 成立， 设 为 上的函数向量, 若有一组不全为零的数 例4.3.1 证明 在任何区间I上都是线性相关的. 证明: 取 则 故 在I上是线性相关的. 例4.3.2 证明 在 上线性无关. 只需 证明:要使 成立, 线性无关. 朗斯基判别准则: 设有n个函数向量 为这些函数向量组的朗斯基行列式. 称 Th4.6 齐次线性方程组的解组 在 线性相关的充要条件是它们的朗斯基行列式 由 的任意性有 均线性相关. 则 所以 证明:充分性. 在 上线性相关, 设 则 线性相关， 必要性.若 ,取 ,有 考虑 Th4.6 齐次线性方程组的解组 在 线性相关 的数 ,使得 即存在不全为零 由解的叠加原理 知 是齐线性方程组的解,且 由解的存在唯一性定理知 , 所以齐解组 线性相关. Th4.7 设 是齐次线性方程组 的任意n个解,则它们的朗斯基行列式 其中 为齐次线性方程组对应的系数矩阵 A(t)的对角线元素. ------刘维尔公式 证明 :由行列式的求导法则 及 是解得证. 推论4.1 齐次线性方程组的任一解组 的 在 上或恒不为零,或恒为零. 在 上线性无关 推论4.2 齐次线性方程组的解组 有 . 在 上某点 处， Th4.8 线性齐次微分方程组一定存在 个线性无关解. 证明: 由解的存在惟一性定理, 一定存在满足初始条件 在 上线性无关. 因此 的解 的n个线性无关解,则 Th4.9（通解结构定理）设 是方程组 （1） 是方程组 的通解， 其中 是任意常数. （2）方程组 的任一解 均可表示为 的线性组合. 证明：（1）由解的叠加原理知 （1） 是方程组 的通解. 是方程组 的解, 故 彼此独立,所以 是通解. 可知 线性无关, 因为 是n个线性无关解, 即它们构成 n维线性空间的基,故对向量 一定 存在唯一确定的一组常数 满足 （2）方程组 的任一解 均可表示为 的线性组合. 考虑 叠加原理! 解的唯一性! 证明 设 是 任一解,并满足 推论4.3 方程组 的线性无关解的最大个数为n. （2）方程组 的任一解 均可表示为 的线性组合. 的n个线性无关解,则 Th4.9（通解结构定理）设 是方程组 （1） 通解 基本解组: 称方程组 的n个线性无关解 为一个基本解组. 基解矩阵: 由基本解组组成的矩阵为基解矩阵. 解矩阵: 如果 矩阵的每一列都是 的解, 称这个矩阵为方程组的解矩阵. Th4.10 方程组 一定存在一个基解矩阵 并若 为其任一解,则 . 其中c是确定的n维常数向量. Th4.11 方程组 的一个解矩阵 为 基解矩阵 在 上某点 有 证明 若 是 的解矩阵, 则有 即 又因为 是基解矩阵, 所以 推论4.4 若 是 在 上的基解矩阵, 方程组在区间 上的基解矩阵. 是非奇异 常数矩阵,则 也是 现令 两边关于t 求导得 证明: 方程组 的基解矩阵 满足矩阵方程 故有 即 是 的解矩