第3讲节插值法三次样条插值.pdf

第三章 插值法 第七节三次样条插值 问题 抛物线插值的误差比线性插值要小，是不是 插值多项式的次数越高，精度就越好？ 1 例：在 [−5, 5] 上考察f (x ) 2 的L (x) 。取xk −5+kh 1 +x n 2.5 (h 10/ n, k 0, ...,n) 2 n 越大，端点附近 1.5 的抖动越大，称为 1 Runge现象。 0.5 0 L (x) f (x) n × 0.5 - -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 分段低次插值 在处理实际问题时，总是希望将所得到的数据点用得 越多越好。最简单的方法是用直线将函数值点直接连接。 分段低次插值 基本思想：用分段低次多项式来代替单个多项式。 具体作法：(1) 把整个插值区间分割成多个小区间； (2) 在每个小区间上作低次插值多项式； (3) 将所有插值多项式拼接整一个多项式。 公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性 … 优点： 缺点：节点处的导数不连续，失去原函数的光滑性。 三次样条函数 样条函数 由一些按照某种光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数。 最常用的样条函数为三次样条函数，即由三次多项式组成， 满足处处有二阶连续导数。 定义 设节点a = x0 x 1 … xn-1 xn = b ，若函数 2 s(x ) ∈C [a, b]在每个小区间[ xi , xi+1 ]上是三次多项式， 则称其为三次样条函数。如果同时满足 s(x ) =f (x ) i i (i = 0, 1, 2, …, n) ，则称s (x) 为f (x) 在[ a , b ]上的三 次样条函数。 三次样条函数的确定 节点：x0 x 1 … xn-1 xn 函数值：y =f (x ) (i = 0, 1, 2, …, n) i i s(x ) y s(x) 满足： i i (i = 0, 1, 2, …, n) ⎧s (x ), x ∈[x , x ] 1 0 1 ⎪ s (x ), x ∈[x , x ] ⎪2 1 2 由定义可设：s(x ) ⎨ ⎪ M ⎪ ∈