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学（一）
一、填空题：(本题共5 小题，每小题3 分，满分15 分)
1 1
(1) lim( 2 - ) = .
x Æ0 x x tan x
1
【答】应填 .
3
1 1 tan x - x tan x - x sec2 x - 1 tan2 x 1
【解】lim( 2 - ) = lim 2 = lim 3 = lim 2 = lim 2 =
x Æ0 x x tan x x Æ0 x tan x x Æ0 x x Æ0 3x x Æ0 3x 3
d x 2
(2) dx Ú0 sin(x - t) dt = .
【答】应填sin x 2 .
d x 2 d 0 2 d x 2 2
【解】 sin(x t) dt x t u sinu du sin u du sin x .
dx Ú0 - 令 - = dx Úx = dx Ú0 =
(3) 微分方程y - 4y = e 2x 的通解为y = .
-2x 1 2x
【答】应填 c e + (c + x )e ，其中C ，C 为任意常数
1 2 1 2
4
【解】特征方程为r - 4 = 0 ，解得r = 2, r = -2 . 故y ¢¢ - 4y = 0 的通解y = c e-2x + c e2x .
1 1 2
由于非齐次方程右端的非齐次项为e2x ，指数上的2 为特征方程的单根，故原方程特解
* 2x 1 -2x 1 2x
可设为y = Axe ，代入原方程化简得A = . 故所求通解y = c e + (c + x )e .
4 1 2 4
(4) 设n 1 n
阶矩阵 的元素全为 ，则 的 个特征值是 .
A A
1
n- 个
678
【答】应填 n, 0, L，0 .
1 1 L 1
0 1 L 0 n-1 n-1
| A - lE |=
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