刚体6个自由度 由度数目减少(由于约束).ppt

* §1.5.2 刚体的运动方程 刚体：6个自由度 自由度数目减少 (由于约束) 例子：绕固定点的转动——3个自由度； 定轴转动——1个自由度。 在有约束的情况下：关心刚体本身的运动+约束反力 但：由拉格朗日方程中不容易得到约束反力 (以前仅讨论理想约束) 办法：回到牛顿表述 一、动量定理 定点转动角动量定理 刚体：特殊的质点组。 考察刚体整体运动： ：质心在静止系中的矢径。 对第a个质点： 其中： ：以质心为原点的运动坐标系的矢径。 因为： 所以： 作和： 其中： ——对固定点o的总角动量 ——对固定点o的总力矩 ——对固定点的角动量定理 以质心为坐标原点：(仍在惯性系中) 对上式作和： 又 则 令 则 ——对质心的角动量定理 描述刚体的运动方程组 二、刚体的静平衡 平衡时： ——平衡方程 例题：见p88 [例1] 三、刚体的动平衡 (见p88，略。) 四、刚体的自由运动 自由运动：不受外力、不受约束。 即： 有： (质心：匀速运动)； (绕质心的转动，且角动量守恒) 设： 为三个惯量主轴方向， 为沿这 三个主轴的转动惯量 则： 讨论： ——球对称陀螺(任意选取三个相互垂 直的轴作惯量主轴) 此时： 2. ——转子 即：L在 平面内， 。 3. ——对称陀螺 ( ：不对称陀螺) 此时：平面 内的任一轴都是主轴 选 在同一平面 将 分解到 和 的方向上，分别称为 和 ， 并设它们之间的夹角为 ，显然有 L在 平面内，L与 的夹角： L与 的夹角： L在 轴的投影： 由图： 在 上的分量相等 则： 且 不变 ( ——匀速旋转) L与 轴的夹角不变 规则进动：对称陀螺自由转动，有 绕 转动 + 轴绕空间固定轴(L轴)进动， 且 与L之间的夹角 保持不变。 五、欧勒运动学方程 对称陀螺的基本运动： (1)刚体绕对称轴的自转； (2)自转轴绕空间固定轴的进动； (3)自转轴和固定轴间夹角的章动。 用欧勒角描述这三种运动： 设：o——固定点；oz：固定轴 ：刚体绕固定轴oz转过的角度——进动角； ：进动角速度——沿oz方向 ：刚体绕 转过的角度——自转角； ：自转角速度——沿 方向。 ： 和oz间的夹角——章动角； ：章动角速度——沿oN方向。 1． 在 平面， 在 的分量 。 由图： 2． 在 上的投影： 由书p91图可知： 当 时， 当 时， 所以