弹性学经典变分原理.pdf

第3章 弹性力学经典变分原理 3.1 弹性力学基础 3.1.1 变形分析 要研究物体变形首先要研究其位移如何来描述。在数学上，我们引进物质坐标和空间坐 标的概念分别来描述物体上某一点的位置变动，具体说来，先取一Descarte坐标系做参照系， 变形前物体的构形为B，其每个质点的位置可用一组我们称之为物质坐标的坐标值来表示； 变形后物体的构形变成B’，取另一个Descartes坐标系做参照系，我们称之为空间坐标系。如 下图，变形前任一点Ｐ在物质坐标系中的坐标为(X ,X ,X )1 2 3 ，变形后P变化到Q点在空间 (x ,x ,x ) 坐标系中的坐标为 1 2 3 。 图3.1物质坐标系和空间坐标系 u 矢量PQ表示了质点P的位移，记为 。为简单和方便起见，一般取两个参照系相重合，这时 u u i 位移矢量 的分量 可以用下式来表示 u x X , (i1,2,3)i i i (3.1.1) 其中变形后质点的坐标x (i1,2,3)i 与变形前的坐标X (i1,2,3)i 存在着确定的关系。我 们可以把变形后质点的坐标看成是变形前质点物质坐标的函数，即 x x (X ,X ,X ), (i1,2,3)i i 1 2 3 (3.1.2) 也可以用其逆变换 (数学上要求Jacobi 行列式不为零) 来表述，也就是从变形后空间坐标描 述的质点，来追涉变形前这一质点的坐标 X X (x ,x ,x ), (i 1,2,3) i i 1 2 3 (3.1.3) u 如果把位移 看作是变形前坐标、即物质坐标的函数 u u(X ,X ,X ), (i1,2,3)i i 1 2 3 (3.1.4) u 称之为Lagrange 描述。如果把位移 看作是变形后坐标、即空间坐标的函数 u u(x,x ,x ), (i1,2,3) i i 1 2 3 (3.1.5) 称之为Euler 描述。 (X ,X ,X )1 2 3 P(X dX ,X dX ,X dX ) P 1 1 2 2 3 3 我们取变形前 点 及相邻 ，它们之间 的长度平方为 3 ds  dX dX2 0  i i i1 (3.1.6) Q (x ,x ,x ) Q(x dx,x dx ,x dx ) 它们变形后相应的 点 1 2 3 及相邻 1 1 2 2 3 3 ，其长度平方为