复变量的指数函数x欧拉公式.pptVIP

返回 后页 前页 *§3 复变量的指数函数ex欧拉公式 设有复数项级数 其中每一项都是复数 ( 为实数, i为 虚部单位, ), 则(1)式可写成 以 Sn 表示(1)的第n个部分和, 并记 则有 若用A, B 分别记这两个极限值, 则级数(1)的和为A+iB. 据此, 级数(1)收敛的充要条件是: 级数 都收敛. 级数(1)各项 un 的模为 若级数 收敛, 则称级数(1)绝对收敛. 由关系式 可证得: 若级数(1)绝对收敛, 则级数(1)必收敛. 设 为复数, z为复变量, 则称级数 为复数项幂级数. 若 使得级数(3)收敛, 则称其 在点z0收敛. 所有使级数(3)收敛的全体复数构成复 数项幂级数(3)的收敛域. 记 这时和§1实数项幂级数一样可证得: 级数(3)对一 切满足 级数(3)的收敛半径(当 时, ; 当 原点为中心, R为半径的圆. 例如级数 由于 ), 则级数(3)的收敛范围是复平面上的以原 时, 故级数(4)的收敛半径 , 即(4)在整个复平面 上都是收敛的, 当 z 为实变量x时, (4)的和函数为实 . 因此, 我们也把级数(4)的和函数, 变量的指数函数 定义为复变量z的指数函数 , 即 用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函 数: 它们的收敛域都是整个复平面. 以iz代替(5)式中的z, 可得 联系(6)与(7)式, 就有 当z为实变量 x 时, 则得 它称为欧拉公式. 这个公式给出了(实变量)指数函 数与三角函数之间的关系. 由于任一复数 z 都可写作 (r为z的模, 即 为 z 的幅角), 那么由欧拉公式可 得复数的指数形式