第2讲节欧式空间中点集.pdf

第2章 欧式空间中的点集 【说明：实变函数中考虑的函数，其定义域虽然可以是一般集合，但由于实际问题中 涉及的函数主要还是集中在欧式空间的点集上，因此为了研究的方便和需要，我们约定实 变函数中涉及的函数是指定义在欧式空间点集上的广义实函数。】 本章介绍欧氏空间 中的一些常见点集，目的是为后面的测度与积分理论作准备，同n R n 时也为更一般的空间上的点集理论提供典型特例。虽然我们是在一般的 维空间上讨论，但 读者不妨以直线或平面上的情形为特例，这将有助于对本章内容的理解。 2.1聚点、内点、边界点及Bolzano-Weierstrass定理 本节回顾点关于点集的两种分类关系： 点集的内点、外点和边界点；点集的聚点、孤立点和外点。 2.1.1 中的距离n R n n n n 设 是正整数，由有序 元实数组的全体所成的集合 称为 维欧几里得空间 （欧氏 R 空间），即 n 1 R  (x,x ,,x )x,x ,,x R  （2.1） 1 2 n 1 2 n . 其中 ， 和 分别是直线、平面和三维空间。熟知 按照如下的加法和数乘作成一个1 2 3 n R R R R 线性空间 (x ,x ,x )(y ,y ,y )(x y ,x y ,x y ) （2.2） 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n (x ,x ,x )(x ,x ,x ) （2.3） 1 2 n 1 2 n x(x ,x ,x ) n x(i1,2,,n) x i 称为 中的点或向量，称 为 的第 个坐标。特别地称 1 2 n R i o(0,0,,0)为 中的原点。n R n x(x ,x ,x ) y (y ,y ,y ) 对 中的任意两点 和 ，定义这两点之间的距离为 R 1 2 n 1 2 n n d(xy, ) (x y )i i 2 （2.4） i1 n x o d(xo, ) x x 特别地，称 中点 到原点 的距离 为 的模或长度，记为 ，即 R