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八年级-数学奥林匹克竞赛训练题12.几何不等式
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第十二讲 几何不等式
班级__________学号__________姓名______________得分______________
一、选择题
1.已知线段a,b,c的长度满足a<b<c,那么以a,b,c为边组成三角形的条件是 ( )
(A)c-a<b (B)2b<a+c (C)c-b>a (D)b2<ac
2.在△ABC中,若∠A=58o,AB>BC,则∠B的取值范围是 ( )
(A)0o<∠B<64o (B)58o<∠B<64o
(C)58o<∠B<122o (D)64o<∠B<122o
3.在锐角三角形ABC中,a=1,b=3,那么第三边c的变化范围是 ( )
(A)2<c<4 (B)2<c<3 (C)2<c< (D)2<c<
4.一个等腰三角形ABC,顶角为∠A,作∠A的三等分线AD、AE,即∠1=∠2=∠3(如图),若BD=x,DE=y,CE=z,则有 ( )
(A)x>y>z (B)x=z>y
(C)x=z<y (D)x<y=z
5.已知三角形三边长a,b,c都是整数,并且a≤b<c,若b=7,那么这样的三角形共有 ( )
(A)21个 (B)28个 (C)49个 (D)14个
二、解答题
1.如图,已知△ABC中,AB>AC,AD是中线,AE是角平分线.求证:
(1)2AD<AB+AC;
(2)∠BAD>∠DAC;
(3)AE<AD.
2.如图,已知△ABC,AB=AC,AD是中线,E为∠ABD内任一点.
求证:∠AEB>∠AEC.
3.如图,已知△ABC中,AB=AC,E、F分别在AB、AC上且AE=CF.求证:EF≥BC.
4.如图,已知△ABC中,BC大于其它两边,D、E分别在AB、AC上,连结DE.求证:DE<BC.
5.如图,已知△ABC中,∠ABC>∠ACB,BE、CF分别是角平分线.求证:BE<CF.
6.如图,已知△ABC中,AB>AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F.求证:AB+CF>AC+BE.
7.如图,已知在凸四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,且AC⊥BD,OA>OC,OB>OD.求证:BC+AD>AB+CD.
8.如图,已知在线段BC同侧作两个三角形△ABC和△DBC,使AB=AC,DB>DC且AB+AC=DB+DC,设AC与DB交于E.求证:AE>DE.
9.如图,已知△ABC中,∠BAC=120o,P为△ABC内一点.求证:PA+PB+PC>AB+AC.
10.已知△ABC中三边长分别为a,b,c,相应边上的中线长为ma,mb,mc.求证:
(1)bc-≤ma2≤bc+;(2)ac-≤mb2≤ac+;(3)ab-≤mc2≤ab+.
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