经济数学微积分 第二版第二篇章第一节 数列的极限教学幻灯片.ppt

1. 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1. 割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1. 割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1. 割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1. 割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1. 割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 经 济 数 学 下页 返回 上页 二、数列的有关概念 四、收敛数列的性质 五、小结 思考题 三、数列极限的定义 第一节 数列的极限 一、引例 2. 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 二、数列(sequence)的有关概念 例如 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 2. 有界性 例如, 有界； 无界 同样, 3. 单调性 为单调增数列； 单调减数列． 单调增数列和单调减数列统称为单调数列． 4. 子数列 (subsequence) 注意： 例如， 播放 三、数列极限的定义(Limit of a sequence) 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画它. 通过上面演示实验的观察: 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 几何解释: 其中 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 注意： 例2 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 寻找N,但不必要求最小的N. 对于一切正整数 例3 证 例4 证 四、收敛数列的性质 性质1（极限的唯一性） 收敛数列的极限必唯一. 证 由定义, 故收敛数列不可能有两个极限. 例5 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. 收敛数列必为有界数列. 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 性质2（有界性） 推论 性质3（保号性） 证 这个定理表明 若数列的极限为正（或负），则 该数列从某一项开始以后所有项也为正（或负）. 性质4（收敛数列与其子数列间的关系） 这个定理表明 若数列有两个不同的子数列收敛于 不同的极限，则该数列是发散的. 五、小结 思考题 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性. 思考题 证明 要使 只要使 从而由 得 取 当 时，必有 成立 思考题解答 ~ （等价） 证明中所采用的 实际上就是不等式 即证明中没有采用“适当放大” 的值 从而 时， 仅有 成立， 但不是 的充分条件． 反而缩小为 练 习 题 1. 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 一、概念的引入