经济学专业数学函数的极限配套教学资料.ppt

2018年8月15日星期三 1 第三节 函数的极限 (Limits of Functions) 第一章 三、夹逼准则与重要极限Ⅱ 一、函数的极限 四、无穷小与无穷大 ＊二、函数极限的严格定义 2018年8月15日星期三 4 例1 解: 函数值趋于1； 所以有 例2 解: 所以 2018年8月15日星期三 5 2.自变量趋于有限值时函数的极限. (Limits Involving Finites) 2018年8月15日星期三 6 定义4 记作 否则称函数 一般地， 常常需要考察 我们引入左、右极限的概念． 为此， 定义， 2018年8月15日星期三 7 定义5 记作 内有定义， 身可以除外) 则称 定义6 内有定义， 身可以除外) 则称 2018年8月15日星期三 8 根据上述定义，可以得出极限存在的充分必要条件： 定理1 即 例3 解 ， 左、右极限存在且相等， 所以 ． 2018年8月15日星期三 9 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 因为 显然 所以 不存在 . 例4（补充题） 设函数 2018年8月15日星期三 10 例5 解 即 即 注: 或 时， 2018年8月15日星期三 11 ＊二、函数极限的严格定义 2018年8月15日星期三 12 1.自变量趋于无穷大时函数的极限 (Limits Involving Infinity) 2018年8月15日星期三 13 2018年8月15日星期三 14 定义1可简单地表达为： 几何解释: 补充定义 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 2018年8月15日星期三 15 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 当 时, 有 当 时, 有 几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 都有水平渐近线 又如， 两种特殊情况 : 2018年8月15日星期三 16 证: 例1 证明 取 因此 就有 故 欲使 即 注: 是 的水平渐近线. 2018年8月15日星期三 17 2.自变量趋于有限值时函数的极限. (Limits Involving Finites) 2018年8月15日星期三 18 （1） 双侧极限 (Two-sided Limits) 2018年8月15日星期三 19 当 时, 有 2018年8月15日星期三 20 2018年8月15日星期三 21 例2 证明 证: 欲使 只要 取 则当 时 , 必有 因此 2018年8月15日星期三 22 证: 例3 证明 函数在点x=3处没有定义. 故 取 当 时 , 必有 因此 2018年8月15日星期三 23 证: 欲使 且 而 可用 因此 只要 时 故取 则当 时, 保证 . 必有 例4 证明: 当 2018年8月15日星期三 24 （2）单侧极限(One-sided Limits) 左极限 (Left Limits) : 当 时, 有 右极限(Right Limits) : 当 时, 有 定理 1 2018年8月15日星期三 25 证： 利用定理1，知 2018年8月15日星期三 26 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 利用定理1 . 因为 显然 所以 不存在 . 例6（补充题） 设函数 2018年8月15日星期三 27 三、夹逼准则与重要极限Ⅱ 2018年8月15日星期三 28 三、夹逼准则与重要极限Ⅱ 准则II 例6　 注意: 的极限是容易求的 并且 与 关键是构造出 利用准则II求极限 , 与 证　 又 根据准则Ⅱ，有 ． 2018年8月15日星期三 29 例7 解： 由准则II得 2018年8月15日星期三 30 我们可将准则II推广到函数的情形： 准则II′ 或 准则II和准则II′统称为夹逼准则. 且 夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的 方法．下面利用它证明一个重要的极限公式： ． 注 2018年8月15日星期三 31 证明重要极限公式： 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 亦即 时， 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 2018年8月15日星期三 32 解: 例9 求 解: 2018年8月15日星期三 33 例10 求 解: 例11 求 （补充题） 解: ． = ＝ 2018年8月15日星期三 34 前面学习了数列的极限有准则Ⅰ： 单调有界数列必有极限. 整数. 一般地，还可以证明， 即 可将(1)式变形为另一种形式 　　(1) (2) 2018年8月15日星期三 35 例12　 求 ． 解: 例13　 求 解: 2018年8月15日星期三 36 例14 解: 例15 求 解: （补充题） （